偏序关系

如果集合A上的关系R满足以下三个属性，则称它为偏序关系：

• 关系R是自反的，即aRa∀a∈A。
• 关系R是反对称的，即aRb和bRa⟹a = b。
• 关系R是传递的，即aRb和bRc⟹aRc。

例1：如果在+ ve个整数的集合上定义的x≥y是否为偏序关系，则说明关系(x，y)∈R。

解决方案：考虑包含四个+ ve整数的集合A = {1,2,3,4}。找到该集合的关系，例如R = {(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(1， 1)，(2、2)，(3、3)，(4、4)}。

自反的：对于每个a∈A，关系是自反的。(a，a)∈R，即(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)∈R。

反对称：当(a，b)和(b，a)∈R时，我们有a = b，该关系是反对称的。

可及的：当(a，b)和(b，c)∈R时，我们具有(a，c)∈R.

例如： (4，2)∈R和(2，1)∈R，暗示(4，1)∈R.

由于这种关系是自反的，反对称的和可传递的。因此，这是一个偏序关系。

示例2：表明在N上定义的关系“分度”是偏序关系。

解：

反身：我们有一个除法a，∀a∈N。因此，关系“分隔”是自反的。

反对称：令a，b，c∈N，使得a除以b。这意味着b将a除以a = b。因此，该关系是反对称的。

传递式：令a，b，c∈N，使得a除以b，b除以c。

然后除以c。因此，该关系是可传递的。因此，该关系是自反的，反对称的和可传递的，关系“除”是偏序关系。

示例3： (a)包含集合的关系⊆是部分排序或集合的任何集合，因为集合包含具有三个所需的属性：

• A⊆A代表任何集合A。
• 如果A⊆B和B⊆A，则B =A。
• 如果A⊆B和B⊆C那么A⊆C

(b)关于实数的集合R的关系≤自反，反对称和可传递。

(c)关系≤是偏序关系。

n-Ary关系

所谓n元关系，是指一组有序的n元组。对于任何集合S，乘积集S ⁿ的子集被称为S上的n元关系。尤其是，S ³的子集被称为S上的三元关系。

部分订单集(POSET)：

集合A与集合A上的偏序关系R一起由(A，R)表示，称为偏阶集或POSET。

总订单关系

考虑集合A上的关系R。如果又称a，b∈A，那么我们有(a，b)∈R或(b，a)∈R或a = b，则关系R是集合A上已知的总订单关系。

示例：表明在N上定义的关系'<'(小于)，+ ve整数集既不是等价关系也不是部分有序关系，而是总阶关系。

解：

自反：令a∈N，则a ⟹'<'不是自反的。

由于关系“ <”(小于)不是自反的，因此既不是等效关系也不是偏序关系。

但是，作为∀a，b∈N，我们有a

等价类

考虑在集合A上的等价关系R。元素a∈A的等价类是元素a与之相关的A元素的集合。用[a]表示。

示例：令R是在由以下项定义的集合A = {4，5，6，7}上的等价关系
R = {(4，4)，(5，5)，(6，6)，(7，7)，(4，6)，(6，4)}。

确定其等效类。

解决方案：等价类如下：
{4} = {6} = {4，6}
{5} = {5}
{7} = {7}。

循环关系

考虑集合A上的二元关系R。如果(a，b)∈R并且(b，c)∈R表示(c，a)∈R，则关系R称为圆形。

示例：考虑R是等价关系。证明R是自反的和圆形的。

解：自反：由于关系，R是等价关系。因此，自反性是等价关系的属性。因此，R是自反的。

圆：让(a，b)∈R和(b，c)∈R
⇒(a，c)∈R(∵R是可传递的)
⇒(c，a)∈R(∵R是对称的)

因此，R为圆形。

兼容关系

自反且对称的集合A上的二元关系R称为兼容关系。

每个等价关系都是兼容的，但每个兼容关系不必是等价的。

示例：朋友的集合是兼容的，但可能不是等价关系。

朋友朋友
a→b，b→c，但可能a和c不是朋友。< p="">
a→b，b→c，但可能a和c不是朋友。<>