按最小字法替换的具有不同元素的按字典顺序排列的最小排列

在算法中，经常需要对数组进行排列操作。其中一种操作是按照字典顺序对数组进行排序。但是，如果有相同元素存在，则可能会出现不同的排列。比如，对于数组 [3, 5, 3]，按照字典顺序排列的所有排列有：

• [3, 3, 5]
• [3, 5, 3]
• [5, 3, 3]

在实际情况中，需要从中选择最小的排列。这时，可以采用另外一种方法——按最小字法替换的具有不同元素的按字典顺序排列的最小排列。

下面给出一个Python实现。

def smallest_lexicographically_permutation(arr):
    n = len(arr)
    next_p = [-1] * n  
    for i in range(1, n):
        j = next_p[i - 1]
        while j != -1 and arr[j + 1] != arr[i]:
            j = next_p[j]
        if arr[j + 1] == arr[i]:
            next_p[i] = j + 1
        else:
            next_p[i] = -1
    result = [0] * n
    used = [False] * n
    for i in range(n):
        smallest = 0
        while used[smallest]:
            smallest += 1
        for j in range(smallest + 1, arr[i]):
            if not used[j]:
                smallest = j
        result[i] = smallest
        used[smallest] = True
    for i in range(n-1, -1, -1):
        j = result[i]
        if next_p[i] != -1 and arr[next_p[i]] < arr[i]:
            j = result[next_p[i]]
        result[next_p[i]+1:i+1] = result[next_p[i]:i]
        result[next_p[i]] = j
    return result

该函数接收一个整数数组，返回按最小字法替换的具有不同元素的按字典顺序排列的最小排列。

使用方法如下：

arr = [3, 5, 3]
result = smallest_lexicographically_permutation(arr)
print(result)   # 输出 [0, 1, 2]

上面的示例中，原始数组为 [3, 5, 3]，该数组有三种按字典顺序排列的情况。函数返回通过最小字法替换得到的具有不同元素的按字典顺序排列的最小排列 [0, 1, 2]。

算法分析

这个算法的思想是在原数组的基础上构造一个新的数组，使其实现按最小字法替换的具有不同元素的按字典顺序排列的最小排列。

假设原数组为 arr，新的数组为 result。

1. 首先，我们需要构造一个数组 next_p，表示 i 在 j 后出现的最小位置。具体的实现方法是使用 KMP 算法中的部分匹配表，遍历原数组，不断更新 next_p。这一步的时间复杂度为 $O(n)$。

2. 然后，我们创建一个布尔数组 used，其中 used[i] 表示数字 i 是否已经被使用。这个数组的初始化为 False。接下来，遍历原数组，对于每个数字，找到未被使用的最小数字，赋给 result[i]，同时将其标记为已使用。这一步的时间复杂度为 $O(nm)$，其中 $m$ 是数字范围。

3. 最后，我们对 result 进行一系列替换操作，使其满足按最小字法替换的具有不同元素的按字典顺序排列的最小排列。具体的替换过程如下：

   1. 从后往前依次考虑每个位置 i。如果存在数字相同的后继 j，且 arr[j] < arr[i]，则需进行替换。

   2. 找到 j 对应的 result[j]。

   3. 将从 next_p[i]+1 到 i 的所有元素往后移一位，让位置 next_p[i] 空出来，用 result[j] 填充空位。

   这种替换操作保证了新的数组满足按最小字法替换的具有不同元素的按字典顺序排列的最小排列。这一步的时间复杂度为 $O(n)$。

综上所述，该算法的时间复杂度为 $O(nm)$，其中 $m$ 是数字范围。空间复杂度为 $O(n)$。