使用动态规划将到达矩阵右下角的成本降至最低

本文介绍如何使用动态规划算法将到达矩阵右下角的成本降至最低。题目可以描述为：在一个m×n的网格中，每个单元格有一个非负成本（cost）用于走到该位置，请找出一条从左上角走到右下角的路径，使得经过的单元格成本之和为最小，并输出这个最小成本。

问题分析

先回顾下动态规划的思想。动态规划是一种将复杂问题分解成更小的子问题来解决的算法。常见的动态规划问题有背包问题、最长公共子序列问题、最优二叉搜索树问题等等，都是将原问题分解成更小的子问题来求解的。具体来说，我们定义状态以及状态转移方程，然后根据状态转移方程递推出结果。

对于本问题，我们可以将它分解成到达每个网格点的最小成本。我们用$dp(i,j)$表示到达网格中第$i$行第$j$列的最小成本，则状态转移方程为：

$$dp(i,j) = \min {dp(i-1,j),dp(i,j-1)} + cost(i,j)$$

其中$cost(i,j)$表示第$i$行第$j$列的网格的成本。可以理解为，到达当前网格的最小成本要么是从它上方的网格到达当前网格，要么是从它左侧的网格到达当前网格。因此，我们选择上方和左侧的网格中成本更小的一个，然后将当前网格的成本加上去。最后得到到达右下角网格的最小成本。

程序实现

下面是使用Python实现动态规划算法求解本问题的代码：

def minPathSum(grid):
    if not grid:
        return 0
        
    m, n = len(grid), len(grid[0])
    dp = [[0]*n for _ in range(m)]
    dp[0][0] = grid[0][0]
    
    for i in range(1, m):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
    for j in range(1, n):
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]
        
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
            
    return dp[-1][-1]

这段代码首先检查输入网格是否为空，然后计算出$n$行$m$列的状态数组$dp$。接下来，遍历每行每列的网格，计算出到达该网格的最小成本，并存储在状态数组中。最后返回$dp[-1][-1]$，即到达右下角网格的最小成本。

总结

本文介绍了使用动态规划算法求解到达矩阵右下角的最小成本问题。核心思想是将原问题分解成更小的子问题，并根据状态转移方程递推出结果。动态规划算法在面对一些复杂问题时可以显著地提升求解效率，是国内外广泛研究的算法之一。