所有路径的成本总和

问题描述

给定一个矩阵和一个初始单元格，找出到达矩阵中每个单元格的所有路径的成本总和。

矩阵中每个单元格都包含一个整数，表示从该单元格到达目标单元格的成本。只能向下或向右移动，并且不能超出矩阵边界。

例如，考虑以下矩阵：

[1, 2, 3]
[4, 5, 6]
[7, 8, 9]

从左上角单元格 (0, 0) 开始，有四条到达右下角单元格 (2, 2) 的路径：

1. (0, 0) -> (0, 1) -> (0, 2) -> (1, 2) -> (2, 2)，成本为 3 + 6 + 9 + 8 = 26
2. (0, 0) -> (0, 1) -> (1, 1) -> (1, 2) -> (2, 2)，成本为 3 + 5 + 6 + 9 = 23
3. (0, 0) -> (1, 0) -> (1, 1) -> (1, 2) -> (2, 2)，成本为 4 + 5 + 6 + 9 = 24
4. (0, 0) -> (1, 0) -> (2, 0) -> (2, 1) -> (2, 2)，成本为 7 + 8 + 9 + 6 = 30

因此，所有路径的成本总和是 26 + 23 + 24 + 30 = 103。

解决方案

一种解决这个问题的方法是使用动态规划。我们可以创建一个大小等于矩阵大小的数组，其中每个元素表示到达该单元格的最小成本。然后，我们可以使用两个循环来遍历矩阵中的所有单元格。对于每个单元格，我们可以将其到达的最小成本设置为该单元格的成本加上其左侧或上方单元格的最小成本，取两者中的较小值。

例如，考虑以下矩阵：

[1, 4, 5]
[2, 7, 6]
[9, 3, 8]

我们可以创建一个大小为 3x3 的数组，如下所示：

[1, 5, 10]
[3, 12, 12]
[12, 15, 20]

数组中每个元素表示到达该单元格的最小成本。例如，第一个元素表示到达单元格 (0, 0) 的最小成本为 1，第二个元素表示到达单元格 (0, 1) 的最小成本为 5，以此类推。

得到这个数组后，我们可以计算到达矩阵中每个单元格的所有路径的成本总和。我们可以使用两个嵌套循环来遍历矩阵中的所有单元格。对于每个单元格，我们可以沿着其到达的所有路径，将每个单元格的成本加起来，得到到达该单元格的所有路径的成本总和。

下面是使用 Python 实现此算法的示例代码：

def min_cost(matrix):
    rows, cols = len(matrix), len(matrix[0])

    # 计算到达每个单元格的最小成本
    dp = [[0] * cols for _ in range(rows)]
    dp[0][0] = matrix[0][0]
    for i in range(1, rows):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + matrix[i][0]
    for j in range(1, cols):
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + matrix[0][j]
    for i in range(1, rows):
        for j in range(1, cols):
            dp[i][j] = matrix[i][j] + min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

    # 计算所有路径的成本总和
    total_cost = 0
    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            cost = dp[i][j]
            if i > 0:
                cost -= dp[i-1][j]
            if j > 0:
                cost -= dp[i][j-1]
            total_cost += cost

    return total_cost

复杂度分析

该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 是矩阵的大小。这是因为我们需要遍历矩阵中的所有单元格两次，分别用于计算到达每个单元格的最小成本和计算所有路径的成本总和。算法的空间复杂度也为 $O(n^2)$，因为我们需要创建一个大小为 $n \times n$ 的数组来存储到达每个单元格的最小成本。