使用不同成本的冲销操作对字符串进行排序的最低成本

介绍

本文介绍了使用不同成本的冲销操作对字符串进行排序的最低成本的问题，同时提供了一个解决该问题的示例代码。

问题描述

给定一个包含 n 个字符串的数组，用不同的成本对每个字符串进行排序，每次排序的成本取决于已经排序的字符串的数量。

具体来说，假设已经用成本 c(i) 对 i 个字符串进行了排序，则对第 i+1 个字符串进行排序的成本为 c(i+1)*(i+1)，即第 i+1 个字符串的排序成本等于其长度乘以 i+1。

现在的问题是，如何以最小的总成本对整个数组进行排序？

解决方案

可以使用动态规划来解决本问题。

设 f(i) 表示对前 i 个字符串进行排序的最小总成本，则有如下状态转移方程：

f(i) = min{f(j) + c(i)*(i-j)}，其中 j<i。

这里 f(j) 表示对前 j 个字符串进行排序的最小总成本，c(i)*(i-j) 表示对第 j+1 到 i 个字符串进行排序的成本。

根据上面的状态转移方程，可以得到一个 O(n^2) 的算法。

但是，我们还可以继续优化它。具体来说，我们可以使用单调栈来维护一个升序的字符串子序列，这样，就可以在 O(n) 时间内计算出对第 i 个字符串进行排序的总成本。

具体的做法是，用一个栈来维护一个升序的字符串子序列，假设当前已经有 k 个字符串被放入了栈中。此时，要对第 i+1 个字符串进行排序，并且已经有 j 个字符串被排好序了，则新的总成本为：

f(j) + c(i+1) * (k-j)

注意，为了使 f(j) 最小，需要保证 j 最大。因此，只有栈顶元素的长度不大于第 i+1 个字符串的长度时，才有可能替换掉栈顶元素，使得 j 增加一。

这样，每个字符串都只会被处理一次，因此算法的时间复杂度为 O(n)。

示例代码

下面是使用单调栈来解决本问题的示例代码，其中用到了一个结构体来保存字符串的长度和索引。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <stack>
#include <algorithm>

using namespace std;

struct StrWithIndex {
    int len, index;
};
bool cmp(const StrWithIndex& a, const StrWithIndex& b) {
    return a.len < b.len;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<StrWithIndex> strs(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        string s;
        cin >> s;
        strs[i] = {s.length(), i};
    }
    sort(strs.begin(), strs.end(), cmp);
    stack<int> stk;
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int j = i - 1;
        while (!stk.empty() && strs[stk.top()].len <= strs[i].len) {
            j = stk.top();
            stk.pop();
        }
        if (stk.empty()) {
            ans += strs[i].len * (i+1);
        } else {
            ans += strs[i].len * (i-j);
        }
        stk.push(i);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

在上面的示例代码中，我们使用了一个结构体 StrWithIndex 来保存字符串的长度和索引，并且写了一个按长度升序排列的比较函数 cmp。之所以要按长度升序排列，是因为这样才能保证单调栈满足升序的要求。

首先，我们读入所有的字符串，将它们按长度升序排列。然后，我们将它们一个一个地加入单调栈中，并计算新的成本。

根据上面的讨论，第 i 个字符串的新成本为：

• 如果栈为空，则新成本为 c(i) * (i+1)。
• 如果栈不为空，则新成本为 c(i) * (i-j)，其中 j 表示栈顶元素的索引。

计算完新的成本之后，我们将第 i 个字符串的索引压入栈中，然后继续处理下一个字符串。

最后，输出总的成本，即为答案。

总结

本文介绍了使用不同成本的冲销操作对字符串进行排序的最低成本的问题，并提供了一个解决该问题的示例代码。具体来说，我们使用了动态规划和单调栈两种方法来解决该问题。其中，使用单调栈的算法具有时间复杂度 O(n)。