毕达哥拉斯四重奏

简介

毕达哥拉斯四重奏（Pythagorean Quadruplets）是指四个整数 $a, b, c, d$ 满足以下条件：

$$a^2 + b^2 + c^2 = d^2$$

这个概念起源于古希腊数学家毕达哥拉斯，他提出了著名的毕达哥拉斯定理：

在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

这里的毕达哥拉斯四重奏，可以看作是将定理中的平方改成了任意次方。

解法

对于任意两个自然数 $m$ 和 $n$，并且 $m>n$，我们可以构造出一组毕达哥拉斯四元组：

$$a=m^2-n^2,\quad b=2mn,\quad c=m^2+n^2,\quad d=a^2+b^2+c^2=(m^2+n^2)^2$$

证明：

我们有

\begin{align} a^2+b^2+c^2 &= (m^2-n^2)^2 + (2mn)^2 + (m^2+n^2)^2 \ &= m^4 - 2 m^2 n^2 + n^4 + 4 m^2 n^2 + m^4 + 2 m^2 n^2 + n^4 \ &= 2m^4 + 2n^4 + 4m^2n^2 \ &= (m^2 + n^2)^4 = d^2 \end{align}

所以 $(a, b, c, d)$ 是一组毕达哥拉斯四元组。

这个构造方法可以得到所有的毕达哥拉斯四元组，但是会包括重复的元组。如果要得到不重复的元组，需要使用更高效的算法，比如基于素数的算法。

应用

毕达哥拉斯四元组在计算几何中有很多应用，比如用于计算四面体的体积、确定多面体的对称性等。

在程序设计中，可以用毕达哥拉斯四元组来生成三维坐标系中的离散点，或者生成 3D 模型中的三角形网格等。

结语

毕达哥拉斯四元组是一个非常有趣的数学概念，它不仅有着深刻的理论意义，而且也有着丰富的应用价值。无论你是数学爱好者，还是程序开发者，都可以从中受益匪浅。