在 MATLAB 中使用 Cayley Hamilton Theorem 求方阵的逆

在 MATLAB 中，我们可以使用 Cayley Hamilton 定理来求解一个方阵的逆。Cayley Hamilton 定理指出，一个 $n \times n$ 的方阵 $A$ 满足它的特征多项式 $\det(\lambda I - A) = 0$，其中 $I$ 是 $n \times n$ 的单位矩阵。我们可以使用这个多项式来计算矩阵 $A$ 的逆。

以下是 MATLAB 中使用 Cayley Hamilton 定理计算矩阵 $A$ 的逆的示例代码：

% 定义矩阵 A
A = [3 4 2 3;
     2 1 3 2;
     1 2 1 1;
     4 3 2 4];

% 计算特征多项式
syms lambda
P = det(lambda*eye(size(A))-A);

% 计算逆矩阵
invA = simplify(-(1/P)*adjoint(lambda*eye(size(A))-A));

% 打印结果
disp('矩阵 A 的逆为：')
disp(invA)

在上面的示例代码中，我们首先定义了一个 $4 \times 4$ 的矩阵 $A$。然后，使用符号变量 lambda 计算矩阵 $A$ 的特征多项式，并保存在变量 P 中。接着，使用 adjoint 函数计算伴随矩阵，再将其简化并除以特征多项式的值，最终得到 $A$ 的逆矩阵。

需要注意的是，如果矩阵 $A$ 的特征多项式存在重根，则这个方法可能会失败。在这种情况下，我们可以使用其他的求逆方法，比如 Gauss-Jordan 消元法。

以上就是在 MATLAB 中使用 Cayley Hamilton 定理求解矩阵逆的方法。