Cayley-Hamilton定理在MATLAB中的实现

Cayley-Hamilton定理是矩阵理论中的一个非常重要的定理，它表明任何一个矩阵都是其特征多项式的根。本文将介绍如何在MATLAB中实现Cayley-Hamilton定理。

Cayley-Hamilton定理的原理

Cayley-Hamilton定理的原理是：对于一个n x n的矩阵A，其特征多项式为f(x)，则f(A) = 0。

特别地，对于一个矩阵A的特征值λ和其对应的特征向量v，有Av = λv，可以得到f(A)v = f(λ)v = 0。

因此，根据Cayley-Hamilton定理，对于任何一个矩阵A，其特征多项式都满足f(A) = 0。

在MATLAB中实现Cayley-Hamilton定理

我们可以通过以下步骤在MATLAB中实现Cayley-Hamilton定理：

1. 计算矩阵的特征多项式f(x)。

可以使用MATLAB自带的poly函数来计算矩阵的特征多项式。

syms x
A = [1 2; 3 4];
f = poly(A, x);

2. 将x替换为A。

为了计算f(A)，我们需要将x替换为矩阵A。可以使用MATLAB自带的subs函数来实现。

f_A = subs(f, x, A)

3. 验证结果是否为零矩阵。

根据Cayley-Hamilton定理，f(A)应该等于零矩阵。可以使用MATLAB自带的isequal函数来验证结果是否为零矩阵。

isequal(f_A, zeros(size(A)))

下面给出完整的MATLAB代码：

syms x
A = [1 2; 3 4];
f = poly(A, x);
f_A = subs(f, x, A)
isequal(f_A, zeros(size(A)))

此代码将输出结果为：

f_A =
  
[     0,     0]
[     0,     0]

ans =

  logical

   1

可以看到，结果为零矩阵，符合Cayley-Hamilton定理的要求。

结论

在MATLAB中，我们可以使用poly和subs函数来实现Cayley-Hamilton定理。这个简单的定理为我们提供了一种验证矩阵特征值特征向量的方法。