Cayley 表和循环组 |数学

凯利表 –

如果 G 是具有运算*的有限群，则 G 的凯莱表是一个表，行和列由该群的元素标记。行中的条目标记为由元素 g*h 标记的列。

示例：让我们构造群 Z ₅的凯莱表，整数 {0, 1, 2, 3, 4} 在加法模 5 下。

第 1 步：我们将用 Z ₅的元素标记行和列，按照从左到右、从上到下的相同顺序。
第 2 步：我们将填写表格。每个条目都是将行标签添加到列标签，然后减少 mod 5 的结果。

Cayley 表的特点 –
• 表格的每一行和每一列都应该只包含每个元素一次。如果表没有这个属性，就不能代表一个组；取消法不成立。
• 组的标识元素不仅应该出现在每一行和每一列(恰好一次)，而且还应该关于主对角线“对称分布”。否则，表中的一个或多个元素没有逆。
• 表中不应有任何不是行/列标签的条目。否则，操作不会关闭。
• 应该有一行按顺序出现列标签，这表明存在标识元素。此元素的列应反映行标签。否则，没有身份。

注意：如果凯莱表沿其对角线对称，则该群是阿贝尔群。

循环组——

它是由单个元素生成的群，该元素称为该循环群的生成元。或循环群 G 是其中每个元素都是群中特定元素 g 的幂。也就是说，G 的每个元素都可以写为 g ⁿ表示乘法群的某个整数 n，或表示加法群的某个整数 n 的 ng。所以，g 是群 G 的生成元。

循环群的性质：
1. 每个循环群也是一个阿贝尔群。
2. 如果 G 是具有生成器 g 和阶 n 的循环群。如果 m < n，则元素 g ^m的顺序由下式给出， $|g^{m}| = \frac{n}{gcd(m, n)}$
3. 循环群的每个子群都是循环的。
4. 如果 G 是一个阶数为 n 的有限循环群，则 G 中每个元素的阶数都可以整除 n。
5. 如果 d 是 n 的正除数，则 n 阶循环群中 d 阶元素的个数为 Φ(d)，其中 Φ(d) 为欧拉斐函数。
6. 循环群的阶与其生成元的阶相同。

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