将所有 1 放在单个索引处所需的最少步骤数

介绍

在一个只包含 0 和 1 的数组中，将所有的 1 放在单个索引处，至少需要多少步。

本题主要考察的是贪心算法和动态规划算法的运用，同时需要注意优化算法的时间复杂度。

贪心算法

贪心算法的思路是尽可能地让 1 距离数组的中心位置越近越好。具体的做法是，在数组中找到最中间的位置，然后遍历数组，对于每个 1，计算其距离中心位置的距离，将所有距离之和作为步骤数。

示例代码：

def min_steps_greedy(nums):
    n = len(nums)
    center = n // 2
    steps = 0
    for i in range(n):
        if nums[i] == 1:
            steps += abs(center - i)
    return steps

代码时间复杂度为 O(n)，其中 n 是数组的长度。

动态规划算法

动态规划算法的思路是将问题分解成子问题，然后用递推式求解。具体的做法是，令 dp[i] 表示将前 i 个数中的所有 1 放在单个索引处所需的最少步骤数，对于第 i 个数，可以将其放在第 j 个数的位置，其中 j 要满足 j < i，nums[j] = 1，且 dp[j] 的值最小。递推式为：

$$ dp[i] = \min\limits_{j=0}^{i-1} dp[j] + |i-j| $$

示例代码：

def min_steps_dp(nums):
    n = len(nums)
    dp = [float("inf")] * n
    dp[0] = 0
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[j] == 1:
                dp[i] = min(dp[i], dp[j] + abs(i - j))
    return dp[-1]

代码时间复杂度为 O(n^2)，空间复杂度为 O(n)。

优化算法

对于贪心算法，我们可以先对数组进行排序，然后计算中位数的位置。

对于动态规划算法，我们可以用两个指针 i 和 j 分别向右移动，求出 dp[i] 的最小值，然后将 j 移动到下一个 dp 值最小的位置，继续求 dp[i]。

示例代码：

def min_steps_optimized(nums):
    n = len(nums)
    center = n // 2
    i = 0
    j = 0
    dp = [float("inf")] * n
    dp[0] = 0
    while i < n - 1 and j < n - 1:
        while j < n - 1 and dp[j + 1] < dp[i] + abs(j + 1 - i):
            j += 1
        i += 1
        dp[i] = dp[j] + abs(i - j)
    return dp[-1]

代码时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(n)。

总结

将所有 1 放在单个索引处所需的最少步骤数，可以用贪心算法和动态规划算法来解决。在实际应用中，需要针对不同的情况选择最优算法，并注意优化算法的时间复杂度以及空间复杂度。