以 M 为最小缺失数的最大子集

简介

给定一个升序排列的整数数组 nums，找到其中一个最大子集，满足子集中任意两个元素的差都不小于 M（M 为正整数），即最小的差值大于等于 M。

解题思路

题目需要求最大子集，自然地想到了使用动态规划来解决。首先对数组进行排序，定义 dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的满足条件的最大子集的大小，最终答案即为所有 dp[i] 中的最大值。显然，当 i=0 时， dp[0] 的值为 1，因为只有一个元素。对于 i>0 的情况，我们需要枚举之前的所有元素，找出与当前元素差值不小于 M 的元素，将其加入最大子集中。由于当前子集的大小是根据之前的元素推导出来的，因此需要记录下最大子集的端点，即 start 和 end，在计算 dp[i] 时，我们需要知道 dp[start]，于是可以在枚举的同时将其计算出来。因为最终的答案只需要 dp[i] 中的最大值，因此可以不必记录每个位置的子集大小，而只需要记录最大值即可。最终使用 ans 记录最大值即可。

代码实现

def max_subset(nums: List[int], M: int) -> int:
    n = len(nums)
    nums.sort()  # 排序
    dp = [1] * n
    ans = 1
    start = 0
    
    for i in range(1, n):
        j = start  # 记录最大子集的端点
        while j < i and nums[i] - nums[j] < M:
            j += 1
        if j > 0 and nums[i] - nums[j-1] >= M:
            dp[i] += dp[j-1]  # 计算最大子集大小
            start = j-1  # 更新最大子集的端点
        ans = max(ans, dp[i])  # 更新最大值
    return ans

时间复杂度

排序的时间复杂度为 $O(n\log n)$，枚举的时间复杂度为 $O(n^2)$，因此总时间复杂度为 $O(n^2)$。