矩阵从顶部到底部再到顶部的最大求和路径

介绍

在给定的矩阵中，从顶部开始，每次只能向下或向右走，直到底部，然后再从底部返回顶部，每次只能向上或向右走，求出路径上元素之和的最大值。

这个问题可以通过动态规划来解决。我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从(0,0)走到(i,j)再从底部返回顶部的最大求和路径。状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + matrix[i][j]

if i + j < rows + cols - 1:
    dp[rows - 1 - i][cols - 1 - j] = max(dp[rows - i][cols - 1 - j], dp[rows - 1 - i][cols - j]) + matrix[rows - 1 - i][cols - 1 - j]

其中，matrix是给定的矩阵，rows和cols为矩阵的行数和列数。第一个状态转移方程表示从左上到右下的路径，第二个状态转移方程表示从右下到左上的路径。

最终的答案为dp[rows-1][cols-1]。

代码片段

def max_sum(matrix):
    rows, cols = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[0] * cols for _ in range(rows)]

    # 从左上到右下的路径
    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            if i == 0 and j == 0:
                dp[i][j] = matrix[i][j]
            elif i == 0:
                dp[i][j] = dp[i][j - 1] + matrix[i][j]
            elif j == 0:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + matrix[i][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + matrix[i][j]

    # 从右下到左上的路径
    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            if i + j < rows + cols - 1:
                continue
            if i == rows - 1 and j == cols - 1:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + matrix[i][j]
            elif i == rows - 1:
                dp[i][j] = max(dp[i][j + 1], dp[i - 1][j]) + matrix[i][j]
            elif j == cols - 1:
                dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + matrix[i][j]
            else:
                dp[i][j] = max(max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), max(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1])) + matrix[i][j]

    return dp[rows - 1][cols - 1]

测试示例

matrix = [[1, 2, 3],
          [4, 5, 6],
          [7, 8, 9]]

assert max_sum(matrix) == 30

matrix = [[1, 2, 3, 4],
          [5, 6, 7, 8],
          [9, 10, 11, 12]]

assert max_sum(matrix) == 54

matrix = [[1, 2],
          [3, 4]]

assert max_sum(matrix) == 10