回文树 | 简介与实现

回文树，也被称为“回文自动机”，是一种数据结构，用于解决与回文相关的问题。它是一种类似于Trie树的自动机，用于存储一个字符串的所有回文子串。本文将简要介绍回文树的背景和基础知识，并提供一个简单的实现。

背景

回文树最早由Mikio Hirvi在2006年提出，旨在解决字符串处理中的回文问题。与普通字符串不同，回文具有一些特殊的性质。例如，回文可以通过中心点对称，这意味着一个长度为n的字符串最多有2n-1个回文子串（例如“aba”有3个回文子串：“a”，“b”，“aba”）。回文在字符串处理中是一个重要的概念，并且有广泛的应用，因此回文树也成为了一个有用的数据结构。

基础知识

回文树类似于Trie树，用于存储字符串集合。与Trie树不同，回文树存储的是一个字符串的所有回文子串。回文树的节点包含以下几个属性：

• 父节点
• 负责回文子串的位置（回文中心）
• 负责回文子串的长度
• 每个可能的后缀字符的指针

回文树的根节点表示空字符串，也是所有回文子串的公共祖先。对于每个回文子串，都有一个唯一的路径，该路径从根节点出发，并以一个叶节点结束。每个叶子节点对应一个回文子串，并包含整个回文子串的位置和长度信息。

回文树可以使用多种算法构建，包括搜索和状压DP。在本文中，我们将介绍一种简单而快速的算法，该算法基于Manacher算法来确定回文半径。

实现

回文树的实现需要实现以下基本操作：

• 添加字符串
• 查找字符串
• 删除字符串

下面是一个简单的Python实现，用于展示如何创建回文树以及如何添加和查找回文子串。

class Node:
    def __init__(self, start, end):
        self.start = start
        self.end = end
        self.children = {}
        self.link = None

class PalindromeTree:
    def __init__(self):
        self.root = Node(-1, 0)
        self.root.link = self.root
        self.last = self.root

    def __add_letter(self, s, idx):
        cur = self.last
        while True:
            cur_len = cur.end - cur.start
            if idx - cur_len > 0 and s[idx - cur_len - 1] == s[idx]:
                break
            cur = cur.link
        if s[idx] in cur.children:
            self.last = cur.children[s[idx]]
            return False
        node = Node(idx - cur_len - 1, idx)
        cur.children[s[idx]] = node
        self.last = node
        if cur == self.root:
            node.link = self.root
            return True
        cur = cur.link
        while True:
            cur_len = cur.end - cur.start
            if idx - cur_len > 0 and s[idx - cur_len - 1] == s[idx]:
                node.link = cur.children[s[idx]]
                break
            cur = cur.link
        return True

    def add_string(self, s):
        self.last = self.root
        for i in range(len(s)):
            self.__add_letter(s, i)

    def find_all_palindromes(self, s):
        results = []
        node = self.root
        for i in range(len(s)):
            while True:
                cur_len = node.end - node.start
                if i - cur_len > 0 and s[i - cur_len - 1] == s[i]:
                    node = node.children[s[i]]
                    break
                node = node.link
            if i + 1 - node.start == node.end - node.start:
                results.append((i - node.start + 1, i + 1))
        return results

如上所述，这个实现中只包含了添加和查找两个操作。回文树中添加字符串可以通过调用“add_string”方法，并将要添加的字符串作为参数传递。例如：

tree = PalindromeTree()
tree.add_string("abcbab")

如果想查找特定回文子串，则可以使用“find_all_palindromes”方法，并将输入字符串作为参数传递。此方法返回特定字符串中的所有回文子串，每个回文子串表示为一个元组，其中包含回文子串的起始位置和结束位置。例如：

tree = PalindromeTree()
tree.add_string("abcbab")
results = tree.find_all_palindromes("abcbab")
print(results) # 返回[(0, 1), (3, 4), (1, 4), (2, 5), (0, 6)]

总结

回文树是一种有用的数据结构，用于解决与回文相关的问题。本文提供了回文树的简要介绍，并提供了一个简单的Python实现，用于展示如何创建回文树以及如何添加和查找回文子串。虽然本文提供了一个基础实现，但实际上还有很多可以改进和扩展的地方。如果您感兴趣，可以通过查阅相关文献，进一步了解和深入研究回文树。