回文树 | 简介与实施

回文树是一种用于解决回文串相关问题的数据结构，其构建方法类似于 Trie 树或 AC 自动机，但是它主要处理的是回文字符串，并且比传统的回文串匹配算法更快。

算法核心

回文树的核心在于构建回文树，其过程可以分为两个部分：

1. 初始化：创建一个包含两个空节点（分别代表奇数长度和偶数长度的回文串）的树。
2. 插入新字符：对于当前正在处理的字符 c，查找它在当前所有回文串的末尾是否存在，如果存在，则直接扩展；如果不存在，则新建一个以 c 为中心的节点，并增加一条边连向一个已有节点。

在构建过程中，节点可以存储一些额外的信息（例如回文串出现的次数），但为了简单起见，本文中省略这些内容。

代码实现

初始化

class Node:
    def __init__(self, l, r):
        self.ch = [0] * 26
        self.len = 0
        self.fail = 0
        self.cnt = 0
        self.left = l
        self.right = r

root1 = Node(-1, 0) # 奇数长度的空节点
root2 = Node(0, 0) # 偶数长度的空节点
root1.fail = root2

插入新字符

def insert(cur, s, i):
    while s[i-cur.len-1] != s[i]:
        cur = cur.fail
    if cur.ch[ord(s[i])-ord('a')] == 0:
        # 新建节点
        new_node = Node(i-cur.len-1, i)
        # 找到回文后缀链接
        cur_fail = cur.fail
        while s[i-cur_fail.len-1] != s[i]:
            cur_fail = cur_fail.fail
        # 设置新节点的回文后缀链接
        new_node.fail = cur_fail.ch[ord(s[i])-ord('a')]
        cur.ch[ord(s[i])-ord('a')] = new_node
    cur = cur.ch[ord(s[i])-ord('a')]
    cur.len = cur.fail.len + 2
    cur.cnt += 1

应用举例

回文树可以用于字符串中回文串的统计、查找最长回文子串等问题。下面给出搜索最长回文子串的示例代码。

def get_longest_palindrome(s):
    res = ""
    cur = root1
    for i in range(len(s)):
        insert(cur, s, i)
        cur = cur.ch[ord(s[i])-ord('a')]
        if cur.cnt > 1 and cur.right-cur.left > len(res):
            res = s[cur.left:cur.right+1]
    cur = root2
    for i in range(len(s)):
        insert(cur, s, i)
        cur = cur.ch[ord(s[i])-ord('a')]
        if cur.cnt > 1 and cur.right-cur.left > len(res):
            res = s[cur.left:cur.right+1]
    return res

总结

回文树是一种高效的解决回文串相关问题的数据结构，其核心在于构建回文树的过程。回文树可以用于字符串中回文串的统计、查找最长回文子串等问题。程序员可以根据自己的需求尝试实现该算法，并在实际应用中体验其优越性。