树是代表单个元素或节点之间的层次关系的离散结构。父级不超过两个子级的树称为二叉树。

树及其属性

定义-树是一个连通的无环无向图。 $ G $中的每对顶点之间都有一条唯一的路径。具有N个顶点的树包含$(N-1)$个边。 0度的顶点称为树的根。 1度顶点称为树的叶节点，内部节点的度至少为2。

示例-以下是树的示例-

一棵树的中心和双中心

一棵树的中心是一个偏心率最小的顶点。顶点$ X $在树$ G $中的偏心度是顶点$ X $与树的任何其他顶点之间的最大距离。最大偏心度是树的直径。如果一棵树只有一个中心，则称为“中心树”；如果一棵树只有一个以上的中心，则称为“双中心树”。每棵树都可以是中心树或中心树。

查找树的中心和双中心的算法

步骤1-从给定树中删除所有度为1的顶点，并同时删除其入射边。

步骤2-重复步骤1，直到剩下一个边或一个顶点或两个边。如果只剩下一个顶点，则它是树的中心；如果只剩下一个边连接的两个顶点，则它是树的双中心。

问题1

找出以下树的中心/双中心-

解

首先，我们将移除所有度为1的顶点，并移除其入射边，并得到以下树-

同样，我们将移除所有度为1的顶点，并移除其入射边，并得到以下树-

最终，我们得到了单个顶点“ c”，并且停止了算法。由于存在单个顶点，因此该树具有一个中心“ c”，并且该树是中心树。

问题2

找出以下树的中心/双中心-

解

首先，我们将移除所有度为1的顶点，并移除其入射边，并得到以下树-

同样，我们将移除所有度为1的顶点，并移除其入射边，并得到以下树-

最后，我们剩下两个顶点“ c”和“ d”，因此我们停止了算法。由于留下了由边连接的两个顶点，因此该树具有双中心“ cd”，并且该树是双中心的。

标记树

定义-标记树是指为其顶点分配1到n唯一编号的树。我们可以手工为n的较小值计数这些树，以便推测出一个通用公式。 n个顶点的标记树的数量为$ n ^ {n-2} $。如果两个标记树的图是同构的，并且两个树的相应点具有相同的标记，则它们是同构的。

例

未贴标签的树木

定义-无标签树是指其顶点未分配任何数字的树。 n个顶点的标记树的数量为$ \ frac {(2n)！} {(n + 1)！n！ } $(^第n^个加泰罗尼亚语数字)

例

根树

根树$ G $是一个连接的无环图，带有一个特殊的节点，称为树的根，每个边直接或间接地起源于该根。有序的有根树是每个内部顶点的子级都有序的有根树。如果根树的每个内部顶点都具有不超过m个子节点，则称为m元树。如果根树的每个内部顶点都恰好有m个子树，则称其为完整的m元树。如果$ m = 2 $，则根树称为二叉树。

二进制搜索树

二进制搜索树是满足以下属性的二进制树-

• 顶点$ V的左子树中的$ X $，值(X)\ le值(V)$
• 顶点$ V的右子树中的$ Y $，值(Y)\ ge值(V)$

因此，内部节点$ V $的左子树的所有顶点的值都小于或等于$ V $，内部节点$ V $的右子树的所有顶点的值都小于或等于大于或等于$ V $。从根节点到最深节点的链接数是二进制搜索树的高度。

例

在BST中搜索密钥的算法

BST_Search(x, k) 
if ( x = NIL or k = Value[x] ) 
   return x; 
if ( k < Value[x]) 
   return BST_Search (left[x], k); 
else  
   return BST_Search (right[x], k)  

二叉搜索树的复杂度