次佳最小生成树

简介

次佳最小生成树是一种图论算法，用于寻找一张图中次小的生成树。生成树是一个连通无向图，它包含所有顶点，但是不包含任何环，总边数比顶点数少1。次佳最小生成树可以用于优化网络构建、电路板设计等问题。

算法原理

次佳最小生成树算法基于普通的最小生成树算法，如Prim算法和Kruskal算法。次佳最小生成树利用了最小生成树的性质，即最小生成树划分为两部分，一部分是树上的边，另一部分是非树边。次佳最小生成树算法的主要思想是依次枚举每条非树边，并将其加入生成树中。如果加入这条边能够得到一组更小的树，则这条边将被保留，并开始处理下一条非树边，否则这条边被丢弃。最终得到的生成树就是次佳最小生成树。

算法流程

1. 计算原图的最小生成树T
2. 对于非树边e，将e添加到T中，并将所得到的图称为T+e
3. 在T+e中找到e的两端点u，v在T中的路径，路径上最大的边为f，即在T中将路径u->v替换成e之后，形成的非树边中最大的边
4. 比较f和e的大小，如果f比e小，则保留e，将T+e作为新的最小生成树T，并寻找T中的次小生成树，否则，保留T作为最小生成树，并寻找T中的次小生成树
5. 重复步骤2-4，直到所有非树边都被处理

代码实现

import queue

def prim(graph, n):
    """
    Prim算法求解最小生成树
    """
    # 初始化
    visited = [False] * n
    dist = [float('inf')] * n
    parent = [-1] * n
    pq = queue.PriorityQueue()
    start = 0
    dist[start] = 0
    pq.put((0, start))
    
    # 开始搜索
    while not pq.empty():
        _, u = pq.get()
        visited[u] = True
        for v, w in graph[u]:
            if not visited[v] and w < dist[v]:
                dist[v] = w
                parent[v] = u
                pq.put((w, v))

    # 构建最小生成树的边列表
    edges = []
    for i in range(n):
        if i == start:
            continue
        edges.append((parent[i], i, dist[i]))

    return edges  


def second_mst(graph, n, edges):
    """
    寻找次小生成树
    """
    # 定义变量
    INF = float('inf')
    min_cost = INF
    min_edges = []
    
    # 枚举所有非树边
    for u, v, w in edges:
        # 移除一条边
        graph[u] = [(x, y) for x, y in graph[u] if x != v]
        graph[v] = [(x, y) for x, y in graph[v] if x != u]
        # 求解新的生成树
        mst_edges = prim(graph, n)
        # 计算新的总权值
        cost = sum([w for _, _, w in mst_edges])
        # 判断是否更新
        if cost < min_cost:
            min_cost = cost
            min_edges = mst_edges
        # 恢复原图
        graph[u].append((v, w))
        graph[v].append((u, w))

    return min_edges, min_cost

总结

次佳最小生成树算法的思想比较简单，但是实现时需要考虑到很多细节问题，比如邻接表的操作、边的移除等。此外，对于稀疏图和密集图等不同类型的图，次佳最小生成树算法的时间复杂度也会有所不同。在实际应用中，需要根据具体的问题选择合适的算法。

参考文献：算法基础课（第2版）