生成排列，使得所有元素的 GCD 乘以位置不是 1

在数学中，GCD（最大公约数）是指两个或多个整数公有的约数中最大的一个。本题目中要求生成排列，使得所有元素的 GCD 乘以位置不是 1。

解法

我们考虑生成一个由 $n$ 个数排成的数组，假设它们是 $a_1,a_2,\cdots,a_n$。其中，$a_1$ 是任意一个整数，$a_2$ 要求和 $a_1$ 的 GCD 不为 1，$a_3$ 要求和 $a_1, a_2$ 的 GCD 都不为 1，以此类推。

接下来，我们可以使用一个简单的贪心算法来生成这个排列。具体的做法如下：

1. 初始化数组 $a$，将 $a_1$ 设为任意一个正整数。
2. 从 $a_2$ 开始依次往后遍历，每次找到一个与前面所有数的 GCD 都不为 1 的数，作为当前位置的数。
3. 最后得到的数组即为所求排列。

这个算法的正确性可以通过反证法得到证明。假设找不到符合条件的数，则说明所有的数都与前面的某一个数的 GCD 为 1。那么，我们可以得到 $a_2$ 和 $a_1$ 的 GCD 为 1，与假设矛盾；同理，其它所有的数都与前面的某一个数的 GCD 为 1，与定义矛盾。因此，这个算法是正确的。

我们可以用 Python 语言实现这个算法：

import math

def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    return gcd(b, a % b)

def generate_array(n):
    # 初始化数组 a，将 a[0] 设为 1
    a = [1]
    # 从 a[1] 开始依次往后遍历
    for i in range(1, n):
        x = a[i-1] + 1
        # 找到一个与前面所有数的 GCD 都不为 1 的数，作为当前位置的数
        while True:
            flag = True
            for j in range(i):
                if gcd(a[j], x) == 1:
                    flag = False
                    break
            if flag:
                break
            x += 1
        a.append(x)
    return a

总结

本题中，我们通过贪心算法求解生成排列的问题。在实现过程中，需要注意避免重复计算 GCD，可以使用辗转相除法来实现 GCD 的计算。此外，这个算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，如果需要优化可以考虑使用线性筛法来计算某个数的质因数。