动态编程：二叉树中没有相邻的二叉树的最大和数

介绍

在二叉树中选择一些非相邻节点，使得它们之和最大。这是一个经典的动态编程问题。

具体来说，给出一棵二叉树，每个节点都有一个权值。你需要选择一些非相邻的节点，并使它们的权值和最大。本问题的解法就是采用动态编程。

动态编程的基本思想是将原问题拆成若干个子问题，并且这些子问题之间有相互的重叠。我们将这些子问题的解存储在一个表格中，避免重复计算，从而提高运算速度。

本文介绍了如何使用动态编程来解决这个问题及其实现细节。

解法

我们定义 $f_{i,0}$ 表示以节点 $i$ 为根的子树，不选择节点 $i$ 时的最大权值和；$f_{i,1}$ 表示以节点 $i$ 为根的子树，选择节点 $i$ 时的最大权值和。

对于每个节点 $i$，我们有两种选择。

一种是不选择节点 $i$，对应的最大权值和为左右儿子节点的 $f$ 函数值和：$f_{i,0}=\max{f_{\text{left}(i),0},f_{\text{left}(i),1}}+\max{f_{\text{right}(i),0},f_{\text{right}(i),1}}$。

另一种是选择节点 $i$，对应的最大权值和是左右儿子不选择的 $f$ 函数值求和，再加上节点 $i$ 的权值：$f_{i,1}=f_{\text{left}(i),0}+f_{\text{right}(i),0}+v_i$，其中 $v_i$ 是节点 $i$ 的权值。

最终的答案是 $\max{f_{1,0},f_{1,1}}$，其中 $1$ 是二叉树的根节点。

代码实现

以下是本问题的 Python 示例代码。

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

class Solution:
    def rob(self, root: TreeNode) -> int:
        def dfs(node):
            if not node:
                return (0, 0)
            left = dfs(node.left)
            right = dfs(node.right)
            return (max(left) + max(right),
                    left[0] + right[0] + node.val)
        return max(dfs(root))

代码解释：

• TreeNode 是二叉树的节点定义。它有一个值属性 val，以及左右子节点属性 left 和 right。
• dfs 函数实现了上述的状态转移公式。它返回一个元组，其中第一个元素表示不选择该节点时的最大权值和，第二个元素表示选择该节点时的最大权值和。
• rob 函数调用 dfs 函数，求得根节点的不选和选最大权值和，返回它们的最大值。

至此，我们介绍了使用动态编程来解答二叉树中没有相邻的二叉树的最大和数问题。