二叉树 | Set 3(二叉树的类型)

介绍

在计算机科学中，二叉树是一种常见的数据结构。它是由根节点、左子树和右子树组成，每个节点最多拥有两个子节点。在二叉树中，左子树的值一定小于等于父节点的值，右子树的值一定大于等于父节点的值。由于其简单、高效的结构，二叉树广泛应用于程序设计中。

二叉树的类型

在二叉树中，存在多种类型的二叉树。以下是常见的几种类型：

满二叉树

满二叉树是指每个节点都有两个子节点的二叉树，除了叶子节点外，每个节点都有两个子节点。

满二叉树在存储上的优势是可以使用数组进行存储，因为每个节点都有两个子节点，节点数为 $n$ 时，需要 $2n-1$ 的空间，而数组下标从 0 开始计数，因此使用数组可以轻松实现二叉树的各种操作。

完全二叉树

完全二叉树是指除最后一层外，每层节点数都达到最大值，并且最后一层的节点都靠左排列。

完全二叉树也可以使用数组存储，根据节点的下标和层数可以计算出节点的位置，因此在存储和操作方面比一般的二叉树要简便很多。

二叉查找树

二叉查找树（Binary Search Tree）又称二叉排序树（Binary Sort Tree）或二叉搜索树，它可以是空树，也可以是满足如下性质的非空树：

• 若它的左子树不为空，则左子树所有节点的值均小于它的根节点的值；
• 若它的右子树不为空，则右子树所有节点的值均大于它的根节点的值；
• 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

二叉查找树可以有效地实现动态查找和排序，其插入和删除操作的时间复杂度为 $O(log2n)$。

平衡二叉树

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）又称 AVL 树，它可以是空树，也可以是满足如下平衡条件的二叉搜索树：

平衡因子（Balance Factor）表示左子树的高度与右子树的高度之差，平衡因子的绝对值不大于 1。当平衡因子不满足绝对值不大于 1 的条件时，需要对树进行旋转操作使其重新平衡。

由于平衡二叉树的节点高度相差不超过 1，因此其插入和删除操作的时间复杂度在最坏情况下也能达到 $O(log2n)$。

红黑树

红黑树（Red-Black Tree）是一种平衡二叉树，它满足如下条件：

• 每个节点要么是红色，要么是黑色；
• 根节点是黑色；
• 如果一个节点是红色，则它的子节点必须是黑色；
• 从任意节点到其子树中每个叶子节点的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

红黑树的节点颜色不是静态的，可以随时修改，通过保证这些约束条件，可以在保持二叉查找树性质的前提下，使树保持良好的平衡，从而保证它在最坏情况下的时间复杂度为 $O(log2n)$。

结论

以上是几种常见的二叉树类型，它们各自拥有不同的优点和适用范围，在程序设计中可以根据需求选择合适的二叉树类型。对于需要频繁插入和删除的场景，可以使用 AVL 树或红黑树，而对于节点数比较固定的场景，则可以选择满二叉树或完全二叉树。