给定路径的最小停靠点数

在某些应用程序中，需要计算从一个点到另一个点的最小停靠点数。这个问题可以通过图论来解决，在本文中，我们将介绍两种解决方案。

解决方案一：最短路径算法

最短路径算法可以解决从一个点到另一个点的最短距离问题。我们可以在这个算法的基础上，稍作修改，求出最小停靠点数。

算法步骤

1. 将起点设为源节点，终点设为目标节点。
2. 使用最短路径算法计算源节点到所有节点的最短路径和距离。
3. 对于每个节点，计算从该节点到目标节点的最短路径和距离。
4. 对于每个节点，将源节点到该节点的最短路径和目标节点到该节点的最短路径相加，得到经过该节点的路径长度。
5. 对于所有路径长度，选取最小值，即为最小停靠点数。

算法实现

import heapq

def dijkstra(graph, start, end):
    dist = {}
    for node in graph:
        dist[node] = float('inf')
    dist[start] = 0
    q = [(0, start)]
    while q:
        (cost, current) = heapq.heappop(q)
        if current == end:
            return dist[end]
        if cost > dist[current]:
            continue
        for neighbor in graph[current]:
            new_cost = dist[current] + neighbor[1]
            if new_cost < dist[neighbor[0]]:
                dist[neighbor[0]] = new_cost
                heapq.heappush(q, (new_cost, neighbor[0]))
    return float('inf')

def min_stops(graph, start, end):
    min_dist = float('inf')
    for node in graph:
        from_start = dijkstra(graph, start, node)
        to_end = dijkstra(graph, node, end)
        total_distance = from_start + to_end
        if total_distance < min_dist:
            min_dist = total_distance
    return min_dist

算法复杂度

最短路径算法的时间复杂度是 $O(ElogV)$。对于本问题，要计算每个节点到源节点和目标节点的最短路径，因此时间复杂度为 $O(VElogV)$。

解决方案二：动态规划

动态规划是解决最优化问题的一种常见技术。对于本问题，我们可以通过动态规划，求出从起点到终点的最小停靠点数。

算法步骤

1. 将起点设为源节点，终点设为目标节点。
2. 构建一个 $dp$ 数组，$dp[i]$ 表示从起点到第 $i$ 个节点的最小停靠点数。
3. 对于第 $i$ 个节点，假设其前面的节点都已经处理完毕(即从起点到第 $i-1$ 个节点的最小停靠点数已知)，则 $dp[i]$ 等于 $dp[j] + 1$ 的最小值，其中 $0<=j<i$，且从第 $j$ 个节点到第 $i$ 个节点有一条连通路径。
4. 最终结果为 $dp[-1]$。

算法实现

def min_stops(graph, start, end):
    n = len(graph)
    dp = [float('inf')] * n
    dp[start] = 0
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if end in graph[j] and i in graph[end] and i not in graph[j]:
                continue
            if i in graph[j]:
                dp[i] = min(dp[i], dp[j] + 1)
    return dp[-1]

算法复杂度

动态规划的时间复杂度为 $O(V^2)$。因此，本算法的时间复杂度也是 $O(V^2)$。

总结

本文介绍了两种解决方案，分别基于最短路径算法和动态规划。两种算法各有优缺点，可以根据实际应用场景选择合适的算法。需要注意的是，在实现算法时，需要考虑特殊情况，如起点和终点不连通等，避免算法出错。