对子串回文形成的查询

在字符串处理中，回文串是一种非常常见的概念，指的是正着读和反着读都一样的字符串。例如，"level"、"racecar"、"anna" 都是回文串。

而对于一个给定的字符串，我们可以对其所有子串进行检查，看其中是否存在回文串。在这个过程中，我们需要进行多次查询，因此本文将简要介绍对子串回文形成的查询。

查询方法

对于一个字符串，我们可以从中选取任意两个位置作为起点和终点，构成一个子串。而回文串的特点就是正着读和反着读都一样，因此我们可以通过以下方法来判断一个子串是否为回文串：

1. 定义一个头指针和一个尾指针，分别指向该子串的开头和结尾；
2. 不断移动头指针和尾指针，如果在任意时刻两个指针指向的字符不同，则该子串不是回文串，否则继续移动指针；
3. 当头指针和尾指针相遇时，该子串就是回文串。

具体的实现方式有很多，例如可以使用数组或者指针来实现上述算法。

查询优化

上述方法可以判断任意一个子串是否为回文串，但是其时间复杂度为 O(n^2)，无法处理大规模数据。因此，我们需要进行优化。

中心扩展算法

中心扩展算法是一种常见的优化方法，其基本思想是在判断回文串时，以每个字符为中心向两边扩展，比较两边字符是否相等。

具体的实现方式如下：

1. 遍历整个字符串，选取一个字符作为中心；
2. 分别向左和向右扩展，直到该子串不再是回文串；
3. 统计当前回文串的长度。

该算法的时间复杂度为 O(n^2)，也无法处理大规模数据。

Manacher 算法

Manacher 算法是一种高效的回文串查询算法，其时间复杂度为 O(n)。具体思路如下：

1. 维护一个数组 P，P[i] 表示以 i 为中心构成的最长回文串的半径；
2. 定义两个指针，分别表示当前回文串的左右两端；
3. 依次遍历整个字符串，根据当前回文串左端点与右端点的位置关系，更新 P 数组。

该算法需要考虑回文串长度的奇偶性，具体实现步骤可以参考算法课程或相关书籍。

代码实现

以下是基于 Manacher 算法的代码实现，供参考：

def manacher(s: str) -> int:
    # 预处理字符串
    t = "#" + "#".join(list(s)) + "#"
    n = len(t)
    p = [0] * n

    # 初始化变量
    mx = 0
    id = 0
    max_len = 0

    # 遍历字符串
    for i in range(n):
        if i < mx:
            p[i] = min(mx - i, p[2 * id - i])
        else:
            p[i] = 1

        while i - p[i] >= 0 and i + p[i] < n and t[i - p[i]] == t[i + p[i]]:
            p[i] += 1

        if i + p[i] > mx:
            mx = i + p[i]
            id = i

        max_len = max(max_len, p[i])

    return max_len - 1

上述代码中，变量 t 是原字符串预处理后得到的新字符串，变量 p 是用来存储当前回文串半径的数组。在遍历 t 的过程中，通过更新变量 mx 和 id 找到最长回文串，最后返回该回文串的长度。

总结

通过对子串回文形成的查询是字符串处理中的基础操作，对于该问题的解决方法也有多种。在实际开发中，可以根据不同的需求选择不同的方法进行优化，提高查询效率。