最大和子数组，使得开始和结束值相同

在计算机科学中，最大和子数组问题是要在一个给定的数组中找到一个连续的子数组，使得这个子数组的元素和是所有子数组中最大的，同时这个子数组的开始和结束元素相同。这个问题可以使用动态规划算法或分治算法来解决，时间复杂度为O(nlogn)或O(n)。

动态规划算法

动态规划算法通常适用于最优化问题，其解决办法是将问题分解成若干个子问题依次求解，以此来得到问题的整体最优解。

我们可以定义动态规划状态数组$dp$，其中$dp[i]$表示以第$i$个元素结尾的最大和子数组开始和结束值相同的情况下的元素和。

对于第$i$个元素来说，只有两种情况，一种是选择它自己作为最大和子数组开始和结束值相同的唯一元素，另一种是将它与前面的元素拼接起来，组成最大和子数组。对于后一种情况，我们需要额外定义一个状态变量$pre$，表示以第$i$个元素结尾的最大和子数组的前一位元素。

根据上述定义，状态转移方程式为：

$$ \begin{cases} dp[i] = nums[i] & (i = 0) \ dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i], nums[i]+nums[i-1]) & (i > 0) \land (nums[i] == nums[0]) \end{cases} $$

其中$nums$为原始数组。

最终的答案是$dp$数组中的最大值，即$max(dp)$。

以下是动态规划算法的实现（Python）：

def max_sum_subarray(nums):
    n = len(nums)
    dp = [nums[0]] + [0] * (n-1)

    for i in range(1, n):
        if nums[i] != nums[0]:
            dp[i] = max(dp[i-1], 0)
        else:
            dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i], nums[i]+nums[i-1])
    return max(dp)

该算法的时间复杂度为$O(n)$，空间复杂度为$O(n)$。

分治算法

分治算法是一种递归算法，其基本思想是：将一个大问题分成若干个小问题，然后分别解决这些小问题再将其合并得到大问题的解。

对于最大和子数组，开始和结束值相同的情况下，我们考虑将其分成两个子问题：

1. 最大和子数组开始和结束值相同，且不跨越数组中间位置；
2. 最大和子数组开始和结束值相同，且可能跨越数组中间位置。

对于第一个子问题，我们可以通过分治算法解决，因为其和最大子数组问题是一样的。

对于第二个子问题，我们可以先将原数组分成两个子数组$nums[0:mid]$和$nums[mid:n]$，其中$mid$为数组中间位置。然后我们分别找到这两个子数组的最大和子数组，记为$leftMaxSum$和$rightMaxSum$。最后我们再找到一个最大的跨越数组中间位置的子数组$crossMaxSum$，更新答案。其中$crossMaxSum$可以通过对原数组从中间位置向两边扩展，求出以中间位置为中心的最大和子数组来获得。

以下是分治算法的实现（Java）：

public int maxSumSubarray(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    if (n == 0) return 0;
    if (n == 1) return nums[0];

    int mid = n / 2;
    int leftMaxSum = maxSumSubarray(Arrays.copyOfRange(nums, 0, mid));
    int rightMaxSum = maxSumSubarray(Arrays.copyOfRange(nums, mid, n));

    int leftMaxCrossSum = 0;
    int leftCrossSum = 0;
    for (int i = mid - 1; i >= 0; i--) {
        leftCrossSum += nums[i];
        if (leftCrossSum == nums[0]) {
            leftMaxCrossSum = Math.max(leftMaxCrossSum, leftCrossSum);
        }
        leftMaxCrossSum = Math.max(leftMaxCrossSum, leftCrossSum - nums[0]);
    }

    int rightMaxCrossSum = 0;
    int rightCrossSum = 0;
    for (int i = mid; i < n; i++) {
        rightCrossSum += nums[i];
        if (rightCrossSum == nums[0]) {
            rightMaxCrossSum = Math.max(rightMaxCrossSum, rightCrossSum);
        }
        rightMaxCrossSum = Math.max(rightMaxCrossSum, rightCrossSum - nums[0]);
    }

    int crossMaxSum = leftMaxCrossSum + rightMaxCrossSum;
    return Math.max(crossMaxSum, Math.max(leftMaxSum, rightMaxSum));
}

该算法的时间复杂度为$O(nlogn)$，空间复杂度为$O(logn)$。