从原点到达给定坐标的字典序第 K 最小方式

当我们在一个二维平面上，从原点出发，依次到达不同的坐标点时，有许多不同的走法。但是，如果我们按照字典序对这些走法进行排序，可以得到一个序列。问题是，如何求出这个序列中的第K个元素，也就是从原点出发的字典序第K小的走法呢？

暴力解法

一种朴素的方法是，先生成所有的走法，然后对它们进行排序，返回第K个元素。这种方法显然是不可行的，因为走法的数量随着坐标的增加呈指数级增长，所以生成和排序所有的走法需要的时间和空间都是无法接受的。

数学解法

有一种更优的方法，它需要一些数学知识。假设我们要走到的坐标是(x,y)，那么我们需要向右走x步，向上走y步。我们可以用R表示向右走，U表示向上走，那么一个走法就可以表示为一个长度为x+y的字符串，其中有x个R和y个U。这个字符串的字典序大小就是所有长度相同的字符串中最小的那个。

现在我们来考虑如何计算这个字符串在所有长度相同的字符串中的排名。假设有m个R和n个U，可以计算出有多少个长度为m+n的字符串是以R开头的，它等于C(m+n-1,m-1)，也就是在m+n-1个位置中选取m-1个位置放R的方案数。同样，可以计算出有多少个长度为m+n的字符串是以R和U开头的，它等于C(m+n-2,m-1)。以此类推，可以计算出有多少个长度为m+n的字符串是以R和U开头、或者以R和U和另外一个字符开头、或者以R和U和另外两个字符开头，以此类推，直到最后只有一个字符为止。这些方案数的和就是这个字符串在所有长度相同的字符串中的排名。

现在我们将这个问题转化为两个子问题：第一个子问题是求出所有长度为x+y的字符串中，有多少个字符串是以R开头，有多少个字符串是以U开头，以及有多少个字符串是以R和U开头、或者以R和U和另外一个字符开头、或者以R和U和另外两个字符开头，以此类推；第二个子问题是给定一个长度为x+y的字符串，求出它在所有长度相同的字符串中的排名。

第一个子问题可以用组合数来计算，时间复杂度为O(x+y)；第二个子问题可以用递推来计算，时间复杂度为O(x+y)。因此，总时间复杂度为O(x+y)。

下面是Python的代码实现：

def solve(x, y, k):
    c = [[0] * (y + 1) for _ in range(x + 1)]
    for i in range(x + 1):
        c[i][0] = 1
    for j in range(y + 1):
        c[0][j] = 1
    for i in range(1, x + 1):
        for j in range(1, y + 1):
            c[i][j] = c[i - 1][j] + c[i][j - 1]
    s = [''] * (x + y)
    i, j, p = x, y, k - 1
    while i > 0 and j > 0:
        if p < c[i - 1][j]:
            s[i + j - 1] = 'R'
            i -= 1
        else:
            s[i + j - 1] = 'U'
            j -= 1
            p -= c[i - 1][j]
    while i > 0:
        s[i - 1] = 'R'
        i -= 1
    while j > 0:
        s[j - 1] = 'U'
        j -= 1
    return ''.join(s)

print(solve(2, 3, 4)) # 'RUUR'

代码中的solve函数接受三个参数：x、y和k，分别表示要到达的坐标、要求的字典序排名。它首先计算出所有长度为x+y的字符串中，有多少个字符串以R开头、以U开头、以R和U开头，以及以R和U和另外一个字符开头、以R和U和另外两个字符开头等等，这个过程使用了一种叫做杨辉三角的组合数计算方法。然后，它根据这些信息计算出第k个走法，并返回一个代表走法的字符串。

总结

从原点到达给定坐标的字典序第K最小方式，可以使用数学方法求解。需要注意的是，这个问题只有在x和y都比较小的时候才能使用这种方法求解，否则需要使用其他的算法。