从原点到达特定坐标问题

问题描述

给定一个二维平面上的网格图，网格的坐标为整数，坐标原点为 (0, 0)。每个格点处作下列操作中的一种：

1. 从原点出发，最多前进 $3^i$ 步，沿 x 或 y 方向前进，$i$ 是正整数。
2. 在每个 $i$ 次移动之后，检查当前位置是否到达目标点 $(X, Y)$。

请编写程序来检查能否从原点到达给定坐标 $(X, Y)$。

思路

该问题可以用贪心法解决。

在每个步骤中，我们希望在保持到达目标点的可能性的同时最大地前进。

首先，我们计算出到达目标点所需的水平和垂直移动。

然后，我们将网格分割为四个象限，并查找目标点属于哪个象限。

我们在该象限内以最大步长向目标点靠近，然后递归地在该象限中重复此过程。

如果目标点不属于任何象限，我们将其视为已经到达。

复杂度分析

该程序的时间复杂度为 $O(\log n)$，其中 $n=\max(|X|,|Y|)$。

代码实现

def is_reachable(x: int, y: int) -> bool:
    # 到达终点为 (0, 0) 的情况
    if x == 0 and y == 0:
        return True

    # 到达目标点所需的水平和垂直移动
    hv = max(abs(x), abs(y))

    # 检查是否能够到达目标点
    if hv % 3 != 0:
        return False

    # 子问题的目标点
    x //= 3 ** (hv // 3)
    y //= 3 ** (hv // 3)

    # 向目标点靠近
    return is_reachable(x, y)

总结

该问题是一个有趣的数学问题，并且它具有良好的可解性和演示性。这个问题为我们提供了使用递归和数学运算的良好示例。