段树中节点的逐级交替GCD和LCM

简介

在使用线段树解决一些问题时，我们需要维护一个节点内所有元素的最大公约数（GCD）或最小公倍数（LCM）。但是在某些情况下，我们需要交替使用GCD和LCM来解决问题，这就需要我们在节点上维护逐级交替的GCD和LCM。

实现

在节点上维护逐级交替的GCD和LCM需要考虑以下几个问题：

1. 如何计算两个数的GCD和LCM？

通常，我们可以使用欧几里得算法来计算GCD，求出a和b的余数r后，将b赋值为a，将r赋值为b，然后继续计算，一直到余数为0。最后所剩的被除数就是GCD。

对于LCM，我们可以将a和b乘起来，然后除以它们的GCD，即可得到LCM。

2. 如何在计算逐级交替的GCD和LCM时保证顺序？

我们可以使用一个全局变量来表示当前计算的是第几个级别（从0开始）。当计算GCD时，如果此时的级别为偶数，我们就将x和y作为参数调用GCD函数；如果此时的级别为奇数，我们就将x和y作为参数调用LCM函数。反之亦然。

3. 如何在线段树上维护逐级交替的GCD和LCM？

对于线段树上的每个节点，我们可以使用一个长度为2的数组来维护它的逐级交替GCD和LCM。数组的第一个元素代表当前节点计算的是奇数级别的GCD/LCM，第二个元素代表当前节点计算的是偶数级别的GCD/LCM。当我们需要向下递归时，我们就将当前的级别+1，然后除以2来确定下一级别的计算方式。

下面是一个示例代码：

const int MAXN = 100010;
int a[MAXN];

struct Node {
    int gcd[2], lcm[2];
} t[MAXN * 4];

void pushup(int u) {
    for(int i = 0; i < 2; ++i) {
        t[u].gcd[i] = __gcd(t[u << 1].gcd[i], t[u << 1 | 1].gcd[i ^ 1]);
        t[u].lcm[i] = t[u << 1].lcm[i] / __gcd(t[u << 1].lcm[i], t[u << 1 | 1].lcm[i ^ 1]) * t[u << 1 | 1].lcm[i ^ 1];
    }
}

void build(int u, int l, int r) {
    if(l == r) {
        t[u].gcd[0] = t[u].gcd[1] = a[l];
        t[u].lcm[0] = t[u].lcm[1] = a[l];
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(u << 1, l, mid);
    build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
    pushup(u);
}

Node query(int ql, int qr, int l, int r, int u, int k) {
    if(ql <= l && qr >= r) return t[u];
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(ql > mid) return query(ql, qr, mid + 1, r, u << 1 | 1, k ^ 1);
    if(qr <= mid) return query(ql, qr, l, mid, u << 1, k ^ 1);
    Node left = query(ql, qr, l, mid, u << 1, k ^ 1);
    Node right = query(ql, qr, mid + 1, r, u << 1 | 1, k ^ 1);
    Node res;
    for(int i = 0; i < 2; ++i) {
        res.gcd[i] = __gcd(left.gcd[i], right.gcd[i ^ 1]);
        res.lcm[i] = left.lcm[i] / __gcd(left.lcm[i], right.lcm[i ^ 1]) * right.lcm[i ^ 1];
    }
    return res;
}

在上面的代码中，我们使用了一个Node结构体来表示每个节点维护的信息。在pushup函数中，我们根据左右子节点的信息更新当前节点的信息，也就是逐级交替的GCD和LCM。

在build函数中，当节点为叶子节点时，我们直接将它的GCD和LCM赋值为当前位置的值；否则，我们递归地构建左右子树，并调用pushup函数更新当前节点的GCD和LCM。

在query函数中，我们先判断当前节点是否完全包含了查询区间。如果是，我们直接返回当前节点的信息；否则，我们递归地查询左右子树，并将查询结果合并。注意，在递归查询左右子树时，我们将级别+1，然后除以2来确定下一级别的计算方式。

总结

在某些情况下，我们需要交替使用GCD和LCM来解决问题，这就需要我们在节点上维护逐级交替的GCD和LCM。我们可以使用一个全局变量来表示当前计算的是第几个级别，而在线段树上维护逐级交替的GCD和LCM，则需要递归地查询左右子树，并调用pushup函数来更新当前节点的GCD和LCM。