段树中的逐级交替OR和XOR操作

简介

在使用线段树的过程中，需要对区间进行一些运算操作来求解问题。当区间的运算是可逆的时候，我们可以使用逐级交替OR和XOR操作来加快计算速度。

原理

假设我们需要对一个区间 $[l,r]$ 进行 $\operatorname{op}$ 运算，其中 $\operatorname{op}$ 可逆，则我们可以通过逐级交替使用 $\operatorname{or}$ 和 $\operatorname{xor}$ 运算来加快计算速度。

我们可以将区间 $[l,r]$ 拆分成两个区间 $[l,mid]$ 和 $(mid,r]$，其中 $mid = \lfloor \frac{l+r}{2} \rfloor$。然后我们对这两个区间分别进行 $\operatorname{op}$ 运算，得到两个结果 $a$ 和 $b$。然后我们将这两个结果进行逐级交替 $\operatorname{or}$ 和 $\operatorname{xor}$ 运算，得到最终的结果。

具体地，如果我们需要求 $a \operatorname{op} b$ 的结果，则我们可以使用以下公式：

$$ a \operatorname{op} b = (a \operatorname{xor} b) \operatorname{xor} ((a \operatorname{and} b) \operatorname{shl} 1) $$

其中 $\operatorname{and}$ 表示按位与运算，$\operatorname{shl}$ 表示左移运算。

最后，我们在查询时，需要使用递归的方式进行计算。代码如下：

// 对区间 [l,r] 进行逐级交替 OR 和 XOR 运算
int rangeOrXor(const vector<int>& a, int l, int r) {
    if (l == r) {
        return a[l];
    }
    int mid = (l + r) / 2;
    return rangeOrXor(a, l, mid) ^ rangeOrXor(a, mid+1, r);
}

// 对区间 [l,r] 进行逐级交替 AND 和 XOR 运算
int rangeAndXor(const vector<int>& a, int l, int r) {
    if (l == r) {
        return a[l];
    }
    int mid = (l + r) / 2;
    return rangeAndXor(a, l, mid) & rangeAndXor(a, mid+1, r);
}

// 对区间 [l,r] 进行逐级交替 OR 和 XOR 运算
int rangeOrXor(const vector<int>& a, int l, int r) {
    if (l == r) {
        return a[l];
    }
    int mid = (l + r) / 2;
    return rangeOrXor(a, l, mid) ^ rangeOrXor(a, mid+1, r);
}

// 对区间 [l,r] 进行逐级交替 XOR 和 AND 运算
int rangeXorAnd(const vector<int>& a, int l, int r) {
    if (l == r) {
        return a[l];
    }
    int mid = (l + r) / 2;
    return rangeXorAnd(a, l, mid) ^ rangeXorAnd(a, mid+1, r);
}

应用

逐级交替 OR 和 XOR 运算可以用于解决一些区间异或和的问题。

比如，求一个序列 $a$ 的区间异或和：

int n = a.size();
vector<int> s(n+1);
for (int i = 0; i < n; i++) {
    s[i+1] = s[i] ^ a[i];
}
int q; // 查询数目
cin >> q;
while (q--) {
    int l, r;
    cin >> l >> r;
    cout << (s[r] ^ s[l-1]) << endl;
}

总结

逐级交替 OR 和 XOR 运算可以用于解决一些区间可逆运算的问题，能够一定程度上加速计算速度。但需要注意的是，这种操作并不适用于所有的区间操作，需要具体问题具体分析。