段树中的逐级交替OR和XOR操作

简介

在进行区间操作的时候，我们通常会用到线段树或者是段树。对于线段树或段树而言，我们最常用的操作是区间求和、区间最小值或最大值。但是，在实际应用中，还有一些比较常见的操作，如区间异或或区间或。而当我们需要同时支持这些操作时，该如何处理呢？这时候，就需要用到本篇所介绍的逐级交替OR和XOR操作了。

逐级交替OR和XOR操作

所谓逐级交替OR和XOR操作，就是在每一层操作中，我们交替使用OR和XOR操作。但是，这些操作不同于一般的异或和或操作，而是具有特殊的性质。这里我们将逐级交替OR和XOR操作简称为RX操作。

假设我们有一棵线段树或段树，我们对其每一层进行RX操作，具体操作过程如下：

1. 首先进行OR（如果是偶数层）或XOR（如果是奇数层）操作。
2. 然后进行相应的区间合并，生成新的区间信息。
3. 再进行XOR（如果是偶数层）或OR（如果是奇数层）操作。
4. 回到步骤2，直到合并到根节点为止。

需要注意的是，整个操作仅限于RX操作，而其它操作（如区间赋值、区间更改等）与平时一样。

RX操作的性质

逐级交替OR和XOR操作具有以下几个性质：

1. 对于同一个元素多次RX操作，其结果等价于一次RX操作。
2. RX操作具有二元性质，即$X \operatorname{rx} Y=\operatorname{rx}(X \operatorname{rx} Y)$。
3. RX操作具有可逆性质，即$\operatorname{rx}(\operatorname{rx}(X))=X$。
4. RX操作具有交换律，即$X \operatorname{rx} Y=Y \operatorname{rx} X$。
5. RX操作保证最终结果是正确的。

示例

以下是一个对线段树进行RX操作的示例代码，使用C++实现：

void pushup(int rt) {
    if (rt << 1) {
        if (rt & 1) Info[rt] = Info[rt << 1] ^ Info[rt << 1 | 1];
        else Info[rt] = Info[rt << 1] | Info[rt << 1 | 1];
    }
}
void build(int ql, int qr, int rt) {
    if (ql == qr) {scanf("%d", Info + rt); return;}
    int mid = ql + qr >> 1;
    build(ql, mid, rt << 1), build(mid + 1, qr, rt << 1 | 1), pushup(rt);
}
void modify(int ql, int qr, int rt, int p, int x) {
    if (ql == qr) {Info[rt] = x; return;}
    int mid = ql + qr >> 1;
    if (p <= mid) modify(ql, mid, rt << 1, p, x);
    else modify(mid + 1, qr, rt << 1 | 1, p, x);
    pushup(rt);
}
int query(int ql, int qr, int l, int r, int rt) {
    if (ql >= l && qr <= r) return Info[rt];
    int mid = ql + qr >> 1, res = 0;
    if (l <= mid && r > mid) res = query(ql, mid, l, r, rt << 1) ^ query(mid + 1, qr, l, r, rt << 1 | 1);
    else if (l <= mid) res = query(ql, mid, l, r, rt << 1);
    else res = query(mid + 1, qr, l, r, rt << 1 | 1);
    return ((rt & 1) ? res : (res << 1 | ((rt & 2) == 2) ^ 1));
}

这里主要介绍线段树的实现，对于段树而言，操作方法大同小异。需要注意的是，在进行区间操作时，我们需要根据当前的层数来判断应该进行OR还是XOR操作。需要用到一些位运算。在查询时，我们同样需要根据当前的层数来计算结果。详情请见代码。

总结

逐级交替OR和XOR操作不仅能够支持区间异或和区间或等常见操作，还具有多个优秀的性质。在进行线段树或者段树的实现时，可以采用RX操作，提高代码的可读性和可维护性。