乘积等于 2 的幂的最长子阵列的长度

在这篇文章中，我们将探讨如何找到乘积等于 2 的幂的最长子阵列的长度。我们将首先介绍问题的定义和挑战，然后提出一种有效的解决方案。

问题定义

给定一个整数数组 $arr$，我们要找到它的一个子阵列 $subarr$，其中任何两个元素的乘积都等于 2 的幂。返回 $subarr$ 的长度。

例如，对于数组 $arr=[2,4,8,3,10]$，我们得出 $subarr=[2,4,8]$。因为 $24=2^3$，$28=2^4$，$4*8=2^5$。

问题挑战

这个问题的挑战在于如何有效地找到满足条件的最长子阵列。

一种朴素的方案是从数组的所有子阵列中枚举乘积，并检查它们是否等于 2 的幂。但是这显然不是一个好的解决方案，因为它的时间复杂度是 $O(n^3)$，其中 $n$ 是 $arr$ 的长度。

解决方案

我们提出一种更有效的解决方案，它的时间复杂度是 $O(n*log(n))$。它基于以下观察：

如果数组中存在 $0$ 或 $1$，则最长子阵列的长度为 $1$。

否则，最长子阵列的长度不会超过 $log_2(maxval)$，其中 $maxval$ 是 $arr$ 中的最大值。

这是因为对于任何 $x>1$，$2^k$ 的值域不超过 $x^{1/k}$。因此，当 $k$ 增加到 $log_2(x)$ 时，$2^k$ 的值域不超过 $x$。

基于这个观察，我们可以使用滑动窗口来找到最长子阵列。我们从数组的第一个元素开始，将一个指针 $left$ 指向它。我们也有另一个指针 $right$，指向当前窗口中的最后一个元素。我们在每一步都检查当前窗口是否满足条件。如果窗口满足条件，我们移动右指针，否则我们移动左指针，直到窗口再次满足条件。

当窗口满足条件时，我们可以计算子阵列的长度，并将其与先前找到的最长长度进行比较。我们可以在这个过程中记录子阵列的开始和结束索引，以便在需要时还原它。

代码实现

以下是使用 Python 实现的代码片段。它返回最长子阵列的长度和其起始和终止索引。

from math import log2

def longest_subarr(arr):
    n = len(arr)
    left = right = res_left = res_right = 0
    maxval = max(arr)
    if maxval<2: return 1,0,0
    for i in range(n):
        prod = arr[i]
        while prod%2==0:
            prod //=2
        if prod!=1:
            if i-left>right-res_left:
                res_left,res_right = left,i
            continue
        while prod==1 and left<i:
            prod //= arr[left]
            left +=1
        if prod ==1 and i-left>right-res_left:
            res_left,res_right = left,i
        else:
            prod *= arr[i]
    return res_right-res_left+1,res_left,res_right

总结

在这篇文章中，我们介绍了如何找到乘积等于 2 的幂的最长子阵列的长度。我们提出了一种 $O(n*log(n))$ 的解决方案，基于滑动窗口和值域的观察。我们还给出了使用 Python 实现的代码片段。