最长公共子序列问题

最长公共子序列（Longest Common Subsequence， 简称LCS）问题是计算两个字符串最长公共子序列长度的问题。

在给定两个字符串X和Y时，LCS问题的目标是找到两个字符串中最长的公共子序列的长度。

定义一个字符串的子序列是在其中删去零个或多个字符后得到的一个新字符串。

动态规划思路

LCS问题可以用动态规划进行求解。

我们设 $C[i,j]$ 为序列 $X[1:i]$ 和$Y[1:j]$ 的最长公共子序列的长度。那么对于 $i=0$ 或 $j=0$ 时，$C[i, j]=0$。当 $i,j>0$ 时，可以分为以下两种情况：

1. 当 $X[i]=Y[j]$ 时，$C[i,j]=C[i-1,j-1]+1$，因为序列 $X[1:i]$ 和$Y[1:j]$ 的公共子序列长度应该为序列$X[1:i-1]$和 $Y[1:j-1]$ 的公共子序列长度加上一个字符 $X[i]=Y[j]$。
2. 当 $X[i]\neq Y[j]$ 时，$C[i,j]=max(C[i-1,j],C[i,j-1])$，因为序列$X[1:i]$和 $Y[1:j]$ 的公共子序列长度应该是序列 $X[1:i-1]$和 $Y[1:j]$的公共子序列长度和序列 $X[1:i]$ 和 $Y[1:j-1]$的公共子序列长度二者中的最大值。

最终的LCS长度 $C[m,n]$ 即为所求，其中 $m$ 和 $n$ 分别是字符串 $X$ 和 $Y$ 的长度。

代码实现

以下为Python代码实现：

def longest_common_subsequence(X, Y):
    m = len(X)
    n = len(Y)
    C = [[0 for j in range(n+1)] for i in range(m+1)]
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            if X[i-1] == Y[j-1]:
                C[i][j] = C[i-1][j-1] + 1
            else:
                C[i][j] = max(C[i-1][j], C[i][j-1])
    return C[m][n]

该函数接受两个字符串 $X$ 和 $Y$ 作为参数，返回它们的最长公共子序列的长度。

应用场景

LCS问题可以用于字符串比较、版本控制、 DNA 序列分析、语音识别等领域。

在字符串比较中，可以将两个字符串的差异转化成它们的最长公共子序列和一些差异操作的序列。

在版本控制中，可以通过LCS算法找到两个版本之间的差异，以便决定如何合并它们。

在DNA序列分析中，LCS算法可以用于比较两个DNA序列的相似性，以确定它们之间的关系。

在语音识别中，LCS算法可以用于将音频信号转化为文本，并比较不同的语音之间的相似性。

参考

[1] Cormen, T. H., Leiserson, C. E., Rivest, R. L., & Stein, C. (2009). Introduction to algorithms (3rd ed.). The MIT Press.

[2] 徐志斌. 算法设计与分析. 清华大学出版社, 2018.