最长递增连续子序列

最长递增连续子序列（Longest Increasing Continuous Subsequence，简称LICS）是指一个序列中的一段连续子序列，满足序列中的每个元素都比前一个元素大，这段连续子序列的长度最长。本文将介绍LICS问题的解法。

暴力解法

LICS问题的最直观解法是暴力枚举。具体来说，我们可以枚举所有可能的连续子序列，并验证其是否是递增的。如果是递增的，则更新最长连续子序列的长度。这个算法的时间复杂度是$O(n^2)$，其中$n$是序列的长度。

def LICS(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    res = 1
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            if nums[j] > nums[j - 1]:
                res = max(res, j - i + 1)
            else:
                break
    return res

动态规划

LICS问题可以用动态规划（Dynamic Programming，简称DP）求解。具体来说，我们可以用一个$dp$数组来表示以$i$位置结尾的最长递增连续子序列的长度。这个$dp$数组可以用以下递推式求得：

$$ dp_i=\begin{cases}1 & i=0\dp_{i-1}+1 & nums_i>nums_{i-1} \1 & \text{otherwise} \end{cases} $$

这个递推式的意思是，如果$nums_i$大于$nums_{i-1}$，则以$i$位置结尾的最长递增连续子序列的长度就是以$i-1$位置结尾的最长递增连续子序列的长度加$1$；否则，以$i$位置结尾的最长递增连续子序列的长度就是$1$。

最后，我们只需要在$dp$数组中找到最大的值，即为所求的答案。这个算法的时间复杂度是$O(n)$，其中$n$是序列的长度。

def LICS(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    for i in range(1, n):
        dp[i] = dp[i - 1] + 1 if nums[i] > nums[i - 1] else 1
    return max(dp)

总结

本文介绍了LICS问题的两种解法：暴力枚举和动态规划。其中，动态规划是一种更加高效的解法，其时间复杂度为$O(n)$，空间复杂度也是$O(n)$。