仅包含 2、4 和 6 之和的数字可能排列的计数

问题描述

假设有长度为 $n$（$n$ 为正整数）的数字，这些数字仅包含 2、4 和 6 三个数字。问能够排列出多少个数字，使得它们的和为某一个数字 $s$。

解法

这道题可以使用动态规划来解决。我们定义 $dp_{i,j}$ 表示选取前 $i$ 个数，它们的和等于 $j$ 的排列种数，$i$ 从 1 开始，$j$ 的范围是 $[0, 3n]$。

由于数字仅包含 2、4 和 6 三个数字，所以每个数字的值只有 2、4、6 三种可能。我们可以枚举第 $i$ 个数字的取值，然后根据其值来更新 $dp_{i,j}$。具体来说，我们有以下状态转移方程：

$$ dp_{i,j} = \begin{cases} dp_{i-1, j} + dp_{i-1, j-2} &\text{if the } i\text{-th digit is 2} \ dp_{i-1, j} + dp_{i-1, j-4} &\text{if the } i\text{-th digit is 4}\ dp_{i-1, j} + dp_{i-1, j-6} &\text{if the } i\text{-th digit is 6} \end{cases} $$

最终答案为 $dp_{n,s}$。

代码实现

def count_permutations(n: int, s: int) -> int:
    dp = [[0] * (3 * n + 1) for _ in range(n + 1)]
    dp[0][0] = 1
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(0, 3 * n + 1):
            if j >= 2:
                dp[i][j] += dp[i - 1][j - 2]
            if j >= 4:
                dp[i][j] += dp[i - 1][j - 4]
            if j >= 6:
                dp[i][j] += dp[i - 1][j - 6]
    return dp[n][s]

复杂度分析

由于我们需要计算 $dp_{i,j}$，其中 $i$ 的范围是 $[1,n]$，$j$ 的范围是 $[0, 3n]$，所以总共需要计算 $O(n^2)$ 个状态。每个状态的计算需要 $O(1)$ 的时间，所以总时间复杂度是 $O(n^2)$。空间复杂度也是 $O(n^2)$，因为我们需要存储 $dp$ 数组。