给定字符串的每个可能长度的不同排列计数

在计算机科学中，使用排列来表示事物的不同排列方式。排列是指从给定元素集合中取出若干元素进行排列得到的所有序列的总数。在本题中，我们需要计算的是给定字符串的每个可能长度的不同排列的数量。

解法一：递归法

思路

将字符串分为两部分，一部分为第一个字符，另一部分为剩余的所有字符。先将剩余字符求出所有排列，然后将第一个字符插入到所有排列中的各个位置中，得到以第一个字符开头的所有排列。

代码实现

def permute(string):
    if len(string) == 0:
        return ['']
    prev_list = permute(string[1:])
    next_list = []
    for i in range(len(prev_list)):
        for j in range(len(prev_list[i])+1):
            next_list.append(prev_list[i][0:j]+string[0]+prev_list[i][j:])
    return next_list


def count_permutations(string):
    counts = []
    for i in range(1,len(string)+1):
        perms = permute(string[:i])
        count = len(set(perms))
        counts.append(count)
    return counts

时间复杂度

该算法的时间复杂度为O(n!),其中n为字符串的长度。

解法二：动态规划法

思路

考虑如何从已知长度的排列计算长度加1的排列。假设我们已知n位字符串的所有排列，我们要计算n+1的排列。假设当前字符串为s，我们先确定最后一个字符x，并将x从s中去掉。我们将前n位字符的所有排列复制一遍，并在每个排列的末尾插入x，得到所有长度为n+1的排列。

如此一来，我们可以从长度为1的排列开始推导出长度为2的排列，再通过长度为2的排列推导出长度为3的排列，最终得到长度为n的排列。

代码实现

def count_permutations(string):
    # 初始化第一个字符的情况
    counts = [1]
    for i in range(1, len(string)):
        # 对于每一个新长度，我们都要重新计算所有排列的数量
        count = 0
        for j in range(i):
            # 将新字符添加到之前长度的排列中
            if string[j] != string[i]:
                count += counts[j]
        # 前i个字符的排列数量为前i-1个字符的排列数量+新增的排列数量
        counts.append(count + counts[-1])
    return counts

时间复杂度

该算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为字符串的长度。