检查是否可以将给定的 Array 拆分为 K 个奇数和子集

问题描述

给定一个数组和一个整数 K，判断是否可以将该数组拆分为 K 个子集，每个子集中的元素之和为奇数。

示例

输入：[1,2,3,4], K=3

输出：True

解释：可以将该数组拆分为 [1,4], [3], [2] 三个子集，每个子集之和均为奇数。

解法

对于每个子集，我们必须选择一些奇数，以使子集之和为奇数。因此，如果给定数组中的偶数数量小于 K 的数量，则无法将其拆分为 K 个子集，使每个子集之和都为奇数。

另外，如果数组中所有元素之和不是奇数，也无法将其拆分为 K 个子集，每个子集之和均为奇数。

如果这些条件都满足，则使用递归方案生成所有可能的子集组合，如果其中有 K 个符合条件，则返回 True，否则返回 False。

代码实现

以下是使用 Python 实现此问题的代码：

from typing import List

def can_divide_into_odd_subsets(nums: List[int], k: int) -> bool:
    odd_nums = len([n for n in nums if n % 2 == 1])
    even_nums = len(nums) - odd_nums
    
    # 如果偶数数量小于 K，则无法将其拆分为 K 个子集，使每个子集之和都为奇数
    if even_nums < k:
        return False

    total_sum = sum(nums)
    # 如果所有元素之和不是奇数，也无法将其拆分为 K 个子集，每个子集的和均为奇数。
    if total_sum % 2 == 1:
        return False

    target = total_sum // k
    if target * k != total_sum:
        return False

    def dfs(used_idx: set, cur_sum: int, cur_count: int) -> bool:
        if cur_sum == target:
            # 子集满足条件，从头开始找下一个子集
            return dfs(used_idx, 0, cur_count + 1)
        if cur_count == k:
            # 所有子集都符合条件
            return True
        for i in range(len(nums)):
            if i in used_idx:
                continue
            if cur_sum + nums[i] > target:
                continue
            used_idx.add(i)
            if dfs(used_idx, cur_sum + nums[i], cur_count):
                return True
            used_idx.remove(i)
        return False

    # 从第一个元素开始搜索，每个子集都必须从头开始搜索
    return dfs(set(), 0, 0)

测试样例

使用以下测试样例进行验证：

assert can_divide_into_odd_subsets(nums=[1, 2, 3, 4], k=3) == True
assert can_divide_into_odd_subsets(nums=[1, 2, 3, 4], k=2) == False

总结

此问题可以通过使用递归方案和深度优先搜索来解决。首先检查每个子集是否存在奇数和，如果不存在，则无法将其拆分为子集，使每个子集之和都为奇数。如果存在，则使用深度优先搜索生成所有可能的子集组合，并检查其中是否有符合条件的子集组合。