在 K 次跳跃中使用恰好 M 个硬币穿过的路径

在图论中，有一个叫做“在 K 次跳跃中使用恰好 M 个硬币穿过的路径”的经典问题。这个问题描述如下：

给定一个有向加权图，每个边的权值都是一个非负整数。同时，给定两个节点 S 和 T。你可以从 S 出发，每次跳跃至多跨越 K 条边，每跳一步需要花费一个硬币。现在，你要想办法在恰好使用 M 个硬币的前提下，从 S 到达 T。问是否存在这样的路径，如果存在，请输出其总代价（即花费的硬币数量）。

这个问题其实是一个经典的图论问题——单源最短路径问题的变种。不过由于硬币数量的限制，导致它比较特殊。通常情况下，我们可以使用 Dijkstra 或 Bellman-Ford 等算法来解决单源最短路径问题。但是针对这个问题，我们需要使用较为特殊的算法来解决。下面介绍一些常见的解法。

解法 1：动态规划

这个问题可以使用动态规划来解决。我们可以定义一个状态 dp(i, j)，其中 i 表示当前节点，j 表示当前使用的硬币数量。状态转移方程如下：

$$ dp(i, j) = \min{dp(u, j-1) + w(u,i)} $$

其中 u 是 i 的前驱节点，w(u, i) 表示 u 到 i 的边权值。边界条件是：

$$ dp(S, 0) = 0 $$

其中 S 是起点。根据状态转移方程以及边界条件，我们可以使用常规的动态规划算法来求解。

解法 2：Floyd-Warshall 算法

Floyd-Warshall 算法可以用来求解任意两个节点之间的最短路径，因此也可以被用来求解本问题。我们可以定义一个三维状态数组 dp(i, j, k)，表示从 i 到 j，使用 k 个硬币的最短路径。状态转移方程如下：

$$ dp(i, j, k) = \min{dp(i, u, k-1) + dp(u, j, 0) + w(u, j)} $$

其中 u 表示中转点，w(u, j) 表示从 u 到 j 的边权值。最终的答案为 dp(S, T, M)。

解法 3：Dijkstra 算法

我们可以针对本问题使用 Dijkstra 算法来进行求解。不过由于使用了边界条件 M，我们需要对 Dijkstra 算法进行一些小的改动。具体来说，我们需要在每一个节点处存储一个 M 个硬币的最短路径。在更新距离的时候，我们需要更新所有不超过 M 的最短路径。这个算法时间复杂度为 O(KMlogN)。

解法 4：Bellman-Ford 算法

最后，我们介绍一种针对本问题的高效解法—— Bellman-Ford 算法。由于 M ≤ K，我们可以把 M 作为循环变量。假设当前在处理第 i 轮循环，表示使用了 i 个硬币。那么我们对整个图进行一次 Bellman-Ford 算法，得到使用 i 个硬币的最短路径。这个算法的时间复杂度为 O(KNM)。

以上就是本问题的几种解法。如果您还有其他的解法或者优化思路，欢迎在评论区中分享！