重复连接后创建的数组中的最大子数组和

介绍

给定一个整数数组 nums ，其中可能包含一些重复连接。你需要从中找到一个子数组，使得它的和最大，并返回这个最大值。

例如，给定数组 nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] ，连接数组 nums 和数组 nums[0:4] ，即 [nums[0], nums[1], nums[2], nums[3], nums[0], nums[1], nums[2], nums[3]] ，得到 [-2,1,-3,4,-2,1,-3,4] ，子数组 [4,-2,1,-3,4] 的和最大为 4 + (-2) + 1 + (-3) + 4 = 4 。

解法

我们可以使用类似于动态规划的方式来解决这个问题。设 $dp[i]$ 表示以第 $i$ 个元素结尾的最大子数组和，则 $dp[0] = nums[0]$ ，$dp[i] = \max{dp[i-1]+nums[i], nums[i]}$ 。最后的答案即为 $dp$ 数组中的最大值。

我们对 $nums$ 数组连接重复的部分，得到一个新的数组 $new_nums$ 。为了保证其中 $nums$ 数组的元素只被计算一次，我们创建一个数组 $exist$ 来记录每个元素是否已经被计算，并将其中出现过的元素都标记为 $1$ 。

初始化 $dp[0] = new_nums[0]$ 。

从 $i = 1$ 开始遍历 $new_nums$ 数组，如果 $exist[i] = 0$ ，则计算 $dp[i]$ ，否则跳过该元素。

遍历完成后，得到的 $dp$ 数组中的最大值即为所求。

具体实现请参见代码片段。

代码实现

from typing import List

def maxSubArray(nums: List[int]) -> int:
    new_nums = nums.copy() + nums[:len(nums)//2] # 连接重复部分
    exist = [0] * len(new_nums) # 记录元素是否已被计算
    dp = [0] * len(new_nums) # 动态规划数组
    dp[0] = new_nums[0] # 初始化
    exist[0] = 1
    for i in range(1, len(new_nums)):
        if exist[i] == 1: # 元素已被计算
            continue
        if new_nums[i] in new_nums[:i]: # 重复元素
            for j in range(i): # 标记重复元素已被计算
                if new_nums[j] == new_nums[i]:
                    exist[j] = 1
        dp[i] = max(dp[i-1] + new_nums[i], new_nums[i]) # 动态规划
        exist[i] = 1
    return max(dp) # 返回最大值

性能分析

时间复杂度：$O(n^2)$ ，其中 $n$ 为数组长度。最坏情况下，每个元素都需要遍历一遍，时间复杂度达到 $O(n^2)$ 。

空间复杂度：$O(n)$ 。需要使用动态规划数组 $dp$ 和标记数组 $exist$ ，占用 $2n$ 的空间。