所有设置位最大位置≤D的素数之和计算

介绍

这是一个计算所有设置位最大位置≤D的素数之和的程序。我们将介绍算法原理、时间复杂度以及代码实现部分。

算法原理

在计算设置位最大位置≤D的素数之和时，我们需要遍历D以内的所有素数，然后将其相加即可得到结果。为了提高遍历的效率，我们可以选用“埃拉托色尼筛法”（也称素数筛法）。

埃拉托色尼筛法

通过这种算法，我们可以在O(n log log n)的时间复杂度下计算出所有不超过n的素数。其思路是：从2开始，将每个素数的倍数都标记成合数，以此类推，直到筛子无法筛下为止。

例如：对于数列2、3、4、5、6、7、8、9、10，我们首先找到最小的素数2，我们将2留下，然后将它的倍数4、6、8…全部标记成合数。接下来，我们找到下一个素数3，又留下3不标记，将3的倍数9、15、21…全部标记成合数。接下来找到5，将5的倍数15、25…标记为合数……

时间复杂度

由于我们采用了埃拉托色尼筛法，时间复杂度为 O(D log log D)，其中log log D表示素数筛法中的阶梯函数。

代码实现

def sieve(n):
    prime = [True] * (n+1)
    p = 2
    while (p * p <= n):
        if (prime[p] == True):
            for i in range(p * p, n+1, p):
                prime[i] = False
        p += 1
    return prime

def sum_primes(d):
    prime = sieve(d)
    s = 0
    for p in range(2, d+1):
        if prime[p]:
            s += p
    return s

以上代码实现了一个计算所有设置位最大位置≤D的素数之和的函数，其中sieve(n)函数采用了筛法，返回了一个长度为n+1的布尔素数数组；sum_primes(d)函数通过sieve(d)函数返回的素数数组计算出所有素数之和。