教资会网络 | UGC NET CS 2018 年 12 月 - II | 问题 45

简介

本题涉及计算机科学和信息技术方面的问题，需要求解一个给定的问题。网上教育管理局网络资格测试（UGC NET）是由教育部管理的国家级印度考试。网络资格测试涵盖计算机科学和其他信息技术领域，考试难度较高。

问题描述

给定一个图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 是节点的集合，$E$ 是边的集合，$|V|=n$，$|E|=m$。现在将 $G$ 转换成其关联矩阵 $A$，其中 $a_{ij}=1$ 如果节点 $i$ 和节点 $j$ 之间有一条边，否则 $a_{ij}=0$。

设计一个复杂度为 $O(n^{2.7})$ 的算法，计算给定图的传递闭包。

解析

传递闭包是一个有向图中的所有节点之间的通路。也就是说，如果节点 $i$ 可以到达节点 $j$，那么节点 $j$ 也可以到达节点 $i$。传递闭包的数学表示为 $R^*$，其中 $R$ 代表有向图的邻接矩阵。

关联矩阵的转换可以使用邻接矩阵的求法。为了计算传递闭包，我们可以使用 Warshall 算法。该算法通过动态规划思想实现，其时间复杂度为 $O(n^3)$，但我们可以使用 Strassen 算法进行优化，使时间复杂度降为 $O(n^{2.7})$。

以下为 Python 代码实现：

def transitive_closure(A):
    n = len(A)
    if n == 1:
        return A
    else:
        m = n // 2
        A11 = [row[:m] for row in A[:m]]
        A12 = [row[m:] for row in A[:m]]
        A21 = [row[:m] for row in A[m:]]
        A22 = [row[m:] for row in A[m:]]

        A11 = transitive_closure(A11)
        A12 = matrix_multiply(A11, A12)
        A12 = transitive_closure(A12)
        A21 = matrix_multiply(A21, A11)
        A21 = transitive_closure(A21)
        A22 = matrix_multiply(A21, A12) + transitive_closure(A22)

        return [row[:m] + A12[i] for i, row in enumerate(A11)] + \
            [row[:m] + A22[i] for i, row in enumerate(A21)]

def matrix_multiply(A, B):
    n = len(A)
    C = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            for k in range(n):
                C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]
    return C

其中 transitive_closure 函数使用了递归和分治法，将时间复杂度从 $O(n^3)$ 降为 $O(n^{2.7})$，而 matrix_multiply 函数正常实现矩阵乘法。