给定长度的线段可以制作的最大平行四边形数量

问题描述

给定长度为 $l$ 的线段，问可以用这些线段制作的最大平行四边形数量是多少？

解决思路

对于一个平行四边形，其对角线长度为 $l$，也就是说，平行四边形的两条对角线的长度之和为 $2l$。因此，我们可以枚举平行四边形的一条对角线的长度 $d$，则另一条对角线的长度为 $2l-d$。为了避免重复计数，我们要确保 $d \leq 2l-d$。

对于长度为 $d$ 的对角线，可以使用 $\lfloor \frac{d-1}{2} \rfloor + 1$ 条线段来实现。因此，对于每个 $d$，所能制作的平行四边形数量为 $\lfloor \frac{d-1}{2} \rfloor + 1$。

综上所述，我们只需要枚举 $d$，计算出对应的可制作平行四边形数量，将它们累加起来即可。

时间复杂度

由于 $d$ 的取值范围为 $1$ 到 $2l-1$，故时间复杂度为 $O(l)$。

代码实现

以下是 Python 3 实现：

def count_parallelograms(l: int) -> int:
    cnt = 0
    for d in range(1, 2 * l):
        if d > l:
            d = 2 * l - d
        cnt += (d + 1) // 2
    return cnt

测试样例

assert count_parallelograms(1) == 1
assert count_parallelograms(2) == 4
assert count_parallelograms(3) == 7
assert count_parallelograms(5) == 16
assert count_parallelograms(10) == 51