ISRO CS 2008 - 问题 47

这道题目考察了程序员的数学、逻辑和编程能力。

题目描述

给定两个自然数 $n$ 和 $m$， 请编写一个程序，找到自然数 $x$，使得以下方程成立：

$$ \large{\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{x}{5}\right\rfloor = n} $$

其中，$\lfloor x \rfloor$ 表示 $x$ 的下取整。

你的任务是编写一个程序，打印出所有 $x$ 的值，这些值满足上述方程式以及 $x < m$。

输入格式

输入文件包含两个自然数 $n$ 和 $m$。

输出格式

对于输入文件中每个测例输出所有满足条件的 $x$ 的值，每行一个。如果没有这样的 $x$，请输出 “-1”。

示例输入

3 20

示例输出

5
9
10
14
15
19

解题思路

我们先来分析一下这个式子的含义。

$\left\lfloor \frac{x}{2} \right\rfloor$ 表示 $x$ 中包含多少个 2，$\left\lfloor \frac{x}{3} \right\rfloor$ 表示 $x$ 中包含多少个 3 ，$\left\lfloor \frac{x}{5} \right\rfloor$ 表示 $x$ 中包含多少个 5。将它们加起来得到的 $n$ 就是 $x$ 中所有素因子的个数。

因为 $x$ 是一个自然数，所以它的素因子只能是 2、3 和 5，因此我们可以枚举 $x$，计算出 $x$ 中包含多少个 2、3 和 5，然后相加和目标数 $n$ 进行比较，如果相等则输出 $x$ 的值。

代码实现

import math

def count_prime_factors(num):
    """
    计算一个数的质因数
    """
    count = 0
    while (num % 2) == 0:
        num //= 2
        count += 1
    i = 3
    while i <= math.sqrt(num):
        while (num % i) == 0:
            num //= i
            count += 1
        i += 2
    if num > 2:
        count += 1
    return count

n, m = map(int, input().split())

found = False
for x in range(1, m):
    if count_prime_factors(x) == n:
        print(x)
        found = True

if not found:
    print("-1")

以上代码使用了两个函数。count_prime_factors() 函数用于计算 $x$ 中素因子的个数，实现上使用了质因数分解的方法。如果一个数可以被 2 整除，就一直除以 2，直到不能被 2 整除；然后从 3 开始，每个奇数尝试是否能被整除；如果一个数最后大于 2，那么说明它本身就是一个质数，需要将素因子的个数加 1。

程序的主函数中，我们枚举 $x$ 的值，计算出它的素因子个数是否等于目标数 $n$。如果找到了符合条件的 $x$，我们输出它的值，并将 found 标志设为真。在循环结束后，如果没有找到符合条件的 $x$，我们就输出 “-1”。