国际空间研究组织 | ISRO CS 2016 | 问题 47

这是一道计算机科学专业的面试题，考查程序员的算法和数据结构的知识。

题目描述

给定一个数列，由 n 个数字组成，找出其中最长的严格递增子序列的长度，其中 n ≤ 10^3。

输入格式

第一行包含一个整数 n。

第二行包括 n 个整数 a1, a2, …, an，表示数列中的元素。

输出格式

输出一个整数表示最长的严格递增子序列的长度。

样例输入

5
50 3 10 7 40

样例输出

3

解题思路

这道题可以用动态规划来解决。具体做法是定义一个 dp 数组，其中 dp[i] 表示以第 i 个元素为结尾的最长递增子序列的长度。然后，遍历数列中的每个元素，递归地计算到第 i 个元素为止的最长递增子序列的长度。递归的结束条件是 i 为 0。遍历完毕后，dp 数组中最大的值即为所求的最长递增子序列的长度。

具体实现时，可以先将 dp 数组初始化为 1，表示每个元素单独成一个子序列时的长度。然后，遍历每个元素，对于其中的每个元素 j（0 ≤ j < i），如果 a[j] < a[i]，那么更新 dp[i] 的值为 dp[j]+1，表示可以把 a[j] 加到 a[i] 后面，得到更长的递增子序列。最后，遍历 dp 数组找到最大的值即可。

代码实现

以下是 Python 语言的实现代码：

def longest_increasing_subsequence_length(n, arr):
    dp = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if arr[j] < arr[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
    return max(dp)

n = int(input())
arr = list(map(int, input().split()))
print(longest_increasing_subsequence_length(n, arr))

以下是 C++ 语言的实现代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int longest_increasing_subsequence_length(int arr[], int n){
    int dp[n];
    fill(dp, dp+n, 1);
    for(int i = 1; i < n; i++){
        for(int j = 0; j < i; j++){
            if(arr[j] < arr[i]){
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);
            }
        }
    }
    return *max_element(dp, dp+n);
}

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    int arr[n];
    for(int i = 0; i < n; i++){
        cin >> arr[i];
    }
    cout << longest_increasing_subsequence_length(arr, n) << endl;
    return 0;
}

时间复杂度

该算法的时间复杂度为 O(n^2)。每个元素需要遍历前面的元素进行比较，时间复杂度为 n，总共需要遍历 n 次，因此时间复杂度为 O(n^2)。

空间复杂度

该算法的空间复杂度为 O(n)。需要使用一个 n 个元素的数组存储 dp 值，因此空间复杂度为 O(n)。

参考链接

• GeeksforGeeks: Longest Increasing Subsequence (LIS)