除数为素数的[L，R]范围内的数字总和

简介

本文介绍了如何计算除数为素数的[L，R]范围内的数字总和。这是一个常见的问题，例如在质数分解中，需要计算一个数的素数因子的总和。

思路

我们可以枚举[L，R]内的每个数字x，判断它是否是质数的因子。当且仅当x是质数的因子时，我们将其加入到总和中。为了判断一个数是否是质数，可以使用试除法或者埃拉托斯特尼筛法。

代码实现

试除法

试除法即对于每个数字x，枚举[2, x-1]的每个数y，判断y是否是x的因子。如果找到x的非1和非x本身的因子，那么x就不是质数。

def is_prime(num):
    if num < 2:  # 0和1不是质数
        return False
    for i in range(2, num):
        if num % i == 0:
            return False
    return True

def prime_factor_sum(L, R):
    res = 0
    for x in range(L, R+1):
        for y in range(2, x):
            if x % y == 0 and is_prime(y):
              res += y
              break  # 因为重复的因子只能算一次，所以找到一个就可以退出了
    return res

时间复杂度

嵌套循环的时间复杂度是O((R-L)^2)，而判断一个数是否是素数的时间复杂度是O(sqrt(x))，所以总的时间复杂度是O((R-L)^2 * sqrt(R))。这个算法在L和R都比较大的情况下，效率非常低下。

埃拉托斯特尼筛法

埃拉托斯特尼筛法是一种用来求小于等于n的所有质数的方法，在本问题中可以用来优化判断一个数是否是素数的过程。

具体来说，我们可以用一个长度为R的布尔数组is_prime来表示[1, R]内的数字是否是素数。初始化时，将is_prime中所有元素标记为True。

接着我们枚举[2, sqrt(R)]内的每个数字i，如果i是素数，我们就将is_prime中i的倍数（除了i本身）全部标记为False。

最后，我们就可以使用is_prime来快速判断一个数是否是素数了。判断一个数字x是否是素数，只需要判断is_prime[x]是否为True。

def prime_factor_sum(L, R):
    res = 0
    is_prime = [True] * (R+1)
    is_prime[0], is_prime[1] = False, False
    for i in range(2, int(R**0.5)+1):
        if is_prime[i]:  # 如果i是素数，将其倍数全部标记为False
            for j in range(i*i, R+1, i):
                is_prime[j] = False
    
    for x in range(L, R+1):
        for y in range(2, x):
            if x % y == 0 and is_prime[y]:
              res += y
              break
    return res

时间复杂度

初始化is_prime的时间复杂度是O(R)，筛掉每个素数的时间复杂度也是O(R)，嵌套循环的时间复杂度是O((R-L)^2)，所以总的时间复杂度是O(R + (R-L)^2). 当L和R都很大时，这个算法的效率仍然很低，但是比试除法快很多。