问题简述

在一个整数数组中，找到一个子数组，使得该子数组所有数字的乘积最大。同时这个子数组的乘积值必须是一个与左侧或右侧子数组的乘积值互质的数。请返回符合条件的最小索引对。

解决方案

思路

这个问题可以分为两个部分：

1. 找到最小的索引对。
2. 确认乘积互质性。

我们可以先遍历一遍数组，得到所有可能的子数组的乘积及其左侧和右侧乘积。然后使用两个指针 left 和 right 分别指向子数组的左右两端，尽可能地减小子数组长度，直到乘积满足要求。

代码实现

我们可以使用 Python 来实现该算法。以下代码假设输入数组名为 nums。

def find_subarray(nums):
    # 枚举所有子数组
    products = []
    left_prods, right_prods = [1], [1]
    for num in nums:
        left_prods.append(left_prods[-1] * num)
        right_prods.append(right_prods[-1] * num)
    right_prods.reverse()
    for i, num in enumerate(nums):
        products.append((num, left_prods[i], right_prods[i]))

    # 查找最小索引对
    left, right = 0, len(products) - 1
    while left < right:
        prod = products[left][0]
        left_prod = products[left][1]
        right_prod = products[right][2]
        if left_prod % prod == 0 or right_prod % prod == 0:
            left += 1
        else:
            right -= 1

    return (left, right)

代码说明

上述代码中，我们首先枚举了所有可能的子数组乘积及其左右乘积，并将它们存储在一个列表中。然后，我们使用双指针法查找最小索引对（即 left 和 right）。对于每个索引对，我们比较左右子数组的乘积是否与该索引对对应的子数组的乘积互质。如果是，则我们返回该索引对；否则，我们继续比较下一个索引对。

时间复杂度分析

该算法的时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 是输入数组的长度。枚举子数组需要 O(n^2) 的时间复杂度，确定乘积互质性需要 O(log(max(nums))) 的时间复杂度，因此总的时间复杂度是 O(n^2 log(max(nums)))。