具有子数组乘积的最小索引对与左边或右边的子数组乘积互质

在算法中，我们有时需要找到一个具有特定属性的子数组。其中一种寻找特定属性的方法是通过将数组中的每个元素作为起始点，并向右或向左移动指针，直到找到满足特定属性的元素(或数组)为止。这导致了一个子数组与左边或右边的子数组产生关系，通常是互质。本文将讨论寻找具有子数组乘积的最小索引对，并且与左边或右边的子数组乘积互质的方法。

题目描述

我们需要求解一个长度为n的数组nums，其中$nums[i] \ge 1$。求解最小的 pair(i,j)，满足条件：

• 其中i<j，表示的是从nums数组中从i到j的一个子数组；
• 该子数组的所有元素的乘积不小于k（即$\prod_{p=i}^{j} nums[p] \ge k$）；
• pair(i,j)距离最小，即差值$|j-i|$最小；
• 该pair(i,j)中i在nums数组中的序号不为0且j在nums数组中的序号不为n，即i和j不能是nums数组的两个端点。

同时，该子数组与其左边或右边子数组的乘积互质。

解法

首先，我们将数组所表示的乘积记为p。根据直接找出子数组的乘积思维，我们可以采用滑动窗口的方法来逐步地找到i和j。即，我们从i=0,j=0开始，尽可能地向右扩展j以找出满足要求的pair(i,j)。我们将当前窗口内的乘积记为tmp，当tmp<p时，我们就可以右移j并扩展tmp。然而，这种方法缺少一些关键信息：到底我们该把i向右移动还是将j向右移动？还是应该左移窗口的一侧来寻找更合适的pair？

令当前窗口的坐标为l和r，则当前窗口内的元素乘积为p。这意味着如果我们将r移动到下一个位置，那么乘积将增加nums[r]，得到一个新的乘积p1 = p * nums[r]。如果我们将l向右移动一位，那么该窗口的新元素乘积为 p/(nums[l-1]),得到一个新的乘积p2 = p/(nums[l-1])。由此，如果p1>k并且p2>p，则我们应该将窗口的一侧向右移动。如果只有p1>k，则我们必须将r向右移动一位以扩展窗口，否则我们必须将l向右移动一位。

最后，当我们在找到pair(i,j)时，我们需要将一侧的窗口向右移动，直到找到与左边或右边的子数组乘积互质为止。如果我们想要寻找与左边的子数组乘积互质的子数组，那么我们需要向右移动l。如果我们想要寻找与右边的子数组乘积互质的子数组，那么我们需要向右移动r。

实现

以下为Java代码实现，该代码通过sliding window的方法来查找需求，同时通过gcd函数来判断左边或右边的子数组乘积是否互质。

public int[] getMinIndexPairWithProdAtLeastKAndLeftOrRightProdIsCoPrime(int[] nums, int k) {
    int n = nums.length;
    int[] result = new int[]{-1, -1};
    int i = 0, j = 0;
    int prod = nums[0];
    int minDiff = Integer.MAX_VALUE;

    while (i < n && j < n) {
        if (prod < k) {
            if (++j < n) prod *= nums[j];
        } else {
            if (i < j) {
                int diff = j - i;
                if (diff < minDiff && gcd(prod / nums[i], nums[i - 1]) == 1) {
                    minDiff = diff;
                    result[0] = i;
                    result[1] = j;
                }
                prod /= nums[i++];
            } else {
                if (++j < n) {
                    prod = nums[j];
                    i = j;
                }
            }
        }
    }

    if (result[0] != -1 && gcd(result[0] > 0 ? prod / nums[result[0] - 1] : 1, result[1] < n - 1 ? nums[result[1] + 1] : 1) != 1) {
        return new int[]{-1, -1};
    }

    return result;
}

private int gcd(int num1, int num2) {
    return num2 == 0 ? num1 : gcd(num2, num1 % num2);
}

性能分析

该算法的时间复杂度为O(n)。该算法的空间复杂度为O(1)。