通过乘以A或除以B将N减为1的最小运算

介绍

给定一个正整数N，你可以执行以下两种操作：

1. 将N乘以A。
2. 将N除以B。

每次操作可以将N减少1。请问，至少需要执行多少次操作才能使N变成1。

本文将介绍一种动态规划的算法来解决这个问题。

算法描述

我们定义一个数组dp，dp[i]表示将数字i变为1所需的最少操作数。如果i不能通过乘以A或除以B得到，则dp[i]=INT_MAX。

我们可以通过以下方式来计算dp数组：

1. 如果i能被B整除，则我们可以将i除以B，使得i变为i/B。而由于i被B整除，因此执行这个操作不需要花费任何操作次数。因此有：dp[i/B]=min(dp[i/B], dp[i]+1)。
2. 同理，如果i乘以A的结果不超过N，我们就可以将i乘以A，使得i变为iA。同样，由于i乘以A不需要花费任何操作次数，因此有：dp[iA]=min(dp[i*A], dp[i]+1)。

这样，我们就可以计算出dp数组中每一个元素的最小操作次数。最终答案即为dp[1]。

代码实现

下面是基于上述算法的C++代码实现：

int minSteps(int n, int A, int B) {
    vector<int> dp(n+1, INT_MAX);
    dp[n] = 0;
    for (int i = n; i >= 2; i--) {
        if (i % B == 0 && i/B >= 1) {
            dp[i/B] = min(dp[i/B], dp[i]+1);
        }
        if (i <= n/A) {
            dp[i*A] = min(dp[i*A], dp[i]+1);
        }
    }
    return dp[1];
}

需要注意的是，我们需要保证i不会超过n/A。因为如果i超过了n/A，那么将i乘以A得到的结果就会超过n，这样就无法将i再变成n的子问题了。

总结

通过乘以A或除以B将N减为1的最小运算是一个典型的动态规划问题。本文介绍了一种基于动态规划的算法来解决这个问题。我们定义一个数组dp，通过递推式来计算dp数组中每一个元素的最小操作次数。最终答案即为dp[1]。