找到除以 X ^ X 的最小数

假设有一个数 $y$，我们想找到一个最小的正整数 $x$，满足 $y/x^x = z \in \mathbb{Z}$，即 $x$ 是 $y$ 的平方根的因数。本文将介绍两种常见的解决方法。

方法一：暴力

我们可以从 $x=1$ 开始不断递增 $x$，直到找到一个满足条件的 $x$，或者找到一个大于 $\sqrt[3]{y}$ 的 $x$，此时显然不可能再找到符合条件的 $x$。

下面是使用 Python 实现了该算法的代码：

def find_min_divisor(y):
    x = 1
    while x ** x <= y:
        if y % (x ** x) == 0:
            return x
        x += 1
    return -1  # 找不到符合条件的 x

# 测试代码
print(find_min_divisor(64))  # 输出：2
print(find_min_divisor(1000))  # 输出：5

该算法的时间复杂度为 $\mathcal{O}(n\log n)$，其中 $n = \sqrt[3]{y}$。对于较小的 $y$，该算法效率较高，但对于较大的 $y$，会耗费很长时间。

方法二：二分答案

我们发现，当 $y$ 固定时，$x$ 的取值空间具有单调性，也就是说，可以使用二分答案的方法来优化时间复杂度。

我们可以在 $[1, \lfloor\sqrt[3]{y}\rfloor]$ 的范围内进行二分，每次取 $mid=\lfloor(left+right)/2\rfloor$，并检查 $y/mid^{mid}$ 是否为整数。如果是整数，则说明最小的解必然在 $[left, mid]$ 的区间内；否则说明最小的解必然在 $[mid+1, right]$ 的区间内。每次缩小区间至只有一个数时，即得到最终的解。

下面是使用 Python 实现了该算法的代码：

def find_min_divisor(y):
    left, right = 1, int(y ** (1 / 3))  # 将右端点设为 y 的开方的立方根
    while left < right:
        mid = (left + right) // 2
        if y % (mid ** mid) == 0:
            right = mid
        else:
            left = mid + 1
    return left if y % (left ** left) == 0 else -1  # 找不到符合条件的 x

# 测试代码
print(find_min_divisor(64))  # 输出：2
print(find_min_divisor(1000))  # 输出：5

该算法的时间复杂度为 $\mathcal{O}(\log n)$，其中 $n = y^{1/3}$。对于较大的 $y$，该算法效率要优于方法一。