算法分析|第5组(摊销分析简介)

什么是摊销分析

摊销分析（Amortized Analysis）是算法分析的一种方法，用来评估一段代码在一段时间内的平均性能。在某些情况下，使用常规的算法分析技术可能无法评估复杂算法的性能，而摊销分析技术则可提供更准确的性能评估。

如何进行摊销分析

摊销分析通常涉及两种方法：平摊分析和势能方法。

平摊分析

平摊分析是摊销分析的一种方法，它将算法的总代价平均分摊到每个操作上，以得出每个操作的平均性能。这种方法通常适用于存在“最坏情况”的算法，即某些操作的代价很高，而其他操作的代价很低。

平摊分析可以使用累加器来实现。累加器是一个变量，它在每个操作完成后增加一定数量的值。当累加器的值达到一定阈值时，它将被重置为零，并将其值平均分摊到每个操作上。

下面是一个使用平摊分析计算插入N个元素的动态数组（Dynamic Array）算法的示例代码：

class DynamicArray:
    def __init__(self):
        self._size = 0
        self._capacity = 1
        self._data = [None] * self._capacity

    def append(self, value):
        if self._size == self._capacity:
            self._resize(2 * self._capacity)
        self._data[self._size] = value
        self._size += 1

    def _resize(self, new_capacity):
        new_data = [None] * new_capacity
        for i in range(self._size):
            new_data[i] = self._data[i]
        self._data = new_data
        self._capacity = new_capacity

上面的代码中，DynamicArray类的append方法在size == capacity的情况下将数组容量翻倍，以在常数时间内增加数组大小。显然，在这种情况下，每一次改变数组容量的操作的代价为O(N)，但我们可以证明，在最坏情况下，对于每个N，append方法最多只会调整容量log N次（因为每次翻倍，数组的容量就会增加至少1倍）。因此，每个append操作的平均代价为O(1)。

势能方法

势能方法是一种摊销分析的技术，它通过定义一个势能函数来评估算法的性能。势能函数通常是一个在操作序列上定义的函数，用来评估“偏差”或“能量”水平。

当使用势能方法时，我们首先定义一个势能函数，然后计算每个操作的实际代价。接下来，我们计算每个操作的势能差值，并将其添加到总代价中，得出每个操作的摊销代价。

以下是一个使用势能法实现栈（Stack）的代码示例：

class Stack:
    def __init__(self):
        self._stack = []
        self._size = 0
        self._potential = 0

    def push(self, value):
        self._stack.append(value)
        self._size += 1
        self._potential += 1

    def pop(self):
        if self._size == 0:
            raise ValueError("Stack is empty")
        value = self._stack.pop()
        self._size -= 1
        self._potential -= 1
        return value

    def __len__(self):
        return self._size

    def __repr__(self):
        return f"Stack({self._stack!r})"

    def __str__(self):
        return repr(self)

上面的代码中，Stack类的势能函数定义为size，即在所有操作后栈中元素的数量。每次push操作增加一个元素，因此势能函数增加1；每次pop操作减少一个元素，因此势能函数减少1。因此，每个操作的实际代价是O(1)，而每个操作的势能差值是O(1)，因此每个操作的摊销代价也是O(1)。

总结

摊销分析是一种评估算法平均性能的方法。它通常包括平摊分析和势能法两种技术。无论使用哪种技术，我们都可以使用摊销分析来评估算法的性能，特别是当存在“最坏情况”时。