门| GATE-CS-2007 |第 70 题

这是一道来自计算机科学与工程考试 (GATE-CS) 2007的题目，要求了解图论中的深度优先搜索 (DFS) 和贝尔曼-福特算法 (Bellman-Ford algorithm)。

题目描述

给定一个有向加权图，每个边上的权重可能为负数。题目要求实现一个深度优先搜索 (DFS) 算法，从指定的顶点开始，找到所有从该顶点到达的其他顶点的路径，然后应用贝尔曼-福特算法计算该顶点到其他所有顶点的最短路径。

函数签名

def bellmanFord(graph, source):
    pass

输入

• graph：字典表示的有向加权图，其中键为顶点，值为该顶点到其他顶点的边及其权重的字典。
• source：指定的起始顶点。

输出

返回一个字典，键为目标顶点，值为从起始顶点到达目标顶点的最短路径的权重。

例子

输入:

graph = {
    'A': {'B': -1, 'C':  4},
    'B': {'C':  3, 'D':  2, 'E':  2},
    'C': {},
    'D': {'B':  1, 'C':  5},
    'E': {'D': -3}
}
source = 'A'

输出:

{
    'A':  0,
    'B': -1,
    'C':  2,
    'D': -2,
    'E':  1
}

解析

首先，我们需要实现深度优先搜索 (DFS) 算法来找到从指定顶点到达其他顶点的所有路径。接下来，使用贝尔曼-福特算法来计算最短路径。

深度优先搜索的基本思想是从起始顶点开始，沿着一条路径尽可能深入，直到无法继续前进，然后回溯到前一个顶点，并尝试其他路径。我们可以使用递归实现深度优先搜索。

贝尔曼-福特算法是一种用于解决最短路径问题的动态规划算法。它通过从源节点开始迭代更新各个节点的最短路径估计值，并逐步将边界扩展到更远的节点。算法通过对所有边进行松弛操作来逐渐逼近最短路径。

具体实现细节请参考下面的代码示例。

def dfs(graph, start, visited, paths):
    visited.add(start)
    for neighbor in graph[start]:
        if neighbor not in visited:
            paths[neighbor] = paths[start] + graph[start][neighbor]
            dfs(graph, neighbor, visited, paths)

def bellmanFord(graph, source):
    # Step 1: Initialize the algorithm
    paths = {vertex: float('inf') for vertex in graph}
    paths[source] = 0
    # Step 2: Relax edges repeatedly
    for _ in range(len(graph) - 1):
        for start in graph:
            for neighbor in graph[start]:
                if paths[start] + graph[start][neighbor] < paths[neighbor]:
                    paths[neighbor] = paths[start] + graph[start][neighbor]
    # Step 3: Check for negative cycles
    for start in graph:
        for neighbor in graph[start]:
            if paths[start] + graph[start][neighbor] < paths[neighbor]:
                raise ValueError("Graph contains negative cycle")
    return paths

graph = {
    'A': {'B': -1, 'C':  4},
    'B': {'C':  3, 'D':  2, 'E':  2},
    'C': {},
    'D': {'B':  1, 'C':  5},
    'E': {'D': -3}
}
source = 'A'

result = bellmanFord(graph, source)
print(result)

输出为:

{
    'A':  0,
    'B': -1,
    'C':  2,
    'D': -2,
    'E':  1
}

总结

本题要求实现深度优先搜索算法和贝尔曼-福特算法。深度优先搜索用于找到从指定顶点到达其他顶点的所有路径，贝尔曼-福特算法用于计算最短路径。这两个算法在图论和算法设计中都非常重要，对于程序员来说，对其了解和掌握有助于解决各种最短路径问题。