门| GATE-CS-2005 |第 70 题

题目

有一个布尔数组 $B$，其长度为 $n$。对数组进行以下操作：

1. 若 $B_i$ 和 $B_{i+1}$（$1 \leq i \leq n-1$）都为 $1$，则 $B_i = 0$。
2. 若 $B_1$ 和 $B_n$ 都为 $1$，则 $B_n = 0$。

得到一个新的数组，称之为 $B'$。一直重复此操作，直到无法继续为止。例如，若 $B = [1,1,0,1,0,1,1,1,0]$，则 $B' = [1,0,1,1,1]$。

现给定一个 $B'$，试设计算法计算原始的数组 $B$。分析算法的时间复杂度。

算法

我们可以从 $B'$ 中的最后一个元素开始进行反推。

首先，假设最后一个元素 $B'_n = 0$，则原数组 $B_n$ 可能为 $0$ 或者 $1$。但是，如果 $B_n = 1$，则根据操作2，$B_1$ 也应为 $1$，这与 $B'$ 中的第一个元素矛盾。因此，$B_n$ 必须为 $0$。

接着，考虑 $B'{n-1}$。如果 $B'{n-1} = 1$，则对于 $B_{n-1}$，它有两种可能：$B_{n-1} = 0$ 或者 $B_{n-1} = 1$。但是，如果 $B_{n-1} = 1$，则由于 $B_n = 0$，它将无法再被抵消，这与 $B'$ 的定义矛盾。所以，$B_{n-1} = 0$。

以此类推，我们可以推出所有 $B_i$ 的值。具体来说，对于 $1 \leq i \leq n-2$，如果 $B'i = 1$，则 $B{i+1} = 0$，否则 $B_{i+1}$ 对应原数组的值和 $B'_i$ 相同。

时间复杂度为 $O(n)$，因为我们只需要对数组进行一次遍历。

代码

def original_array(B):
    n = len(B)
    original_B = [0] * n
    original_B[-1] = 0
    for i in range(n-2, -1, -1):
        if B[i+1] == 0:
            original_B[i+1] = B[i]
        else:
            original_B[i+1] = 0
    return original_B

总结

本题主要考察了类似数学推导的思维方式，并且很好地展示了推导过程的逆向思维。此外，还需要注意数组的下标和边界条件的处理。