最大化按对异或的数量

异或是一种逻辑操作符，它的结果为 1 只有当两个操作数的某一位不同。在计算机科学中，异或被广泛应用于加密、散列、数据校验等领域。在本文中，我们将学习如何将按位异或替换为按对异或，并最大化其对的数量。

什么是按对异或

按对异或是一种将一组元素中的每对元素异或起来的操作。例如，如果我们有一个包含元素 1、2、3、4 的集合，那么它们的按对异或是：

(1^2)^(3^4) = 0

这里的 ^ 表示按位异或操作符。由于按位异或满足结合律和交换律，因此按对异或也满足这些规则。每个元素只能在一个对中出现，因此它只能在一个对中参与按对异或操作。

将按位异或替换为按对异或

为了将按位异或替换为按对异或，我们需要将给定的元素分组，并将每对元素进行异或。我们可以使用暴力枚举来实现这一目标，但是它的时间复杂度为 O(N^2)，其中 N 是元素的数量。这对于较小的输入是可接受的，但对于较大的输入则过于缓慢。

另一个更快速的方法是使用哈希表。我们可以将哈希表定义为以每个元素作为键，其值为该元素所在的组。我们遍历每个元素，将其分配到其所在的组中。在本文的示例中，我们可以使用以下代码：

n = len(arr)
d = {}
for i in range(n):
    if arr[i] // 2 in d:
        d[arr[i] // 2].append(i)
    else:
        d[arr[i] // 2] = [i]

这里的 arr 是包含所有元素的数组。如果两个元素 a 和 b 可以组成一对，则它们的值之和必须是一个偶数。因此，我们只需检查一个元素的一半是否在哈希表中，如果是，则该元素和它对应的元素可以组合成一对。如果不是，则将其添加到哈希表中。

现在，我们已将元素分配到各自的组中。接下来，我们将遍历所有的组，并计算它们的异或和。这样，我们就可以得到按对异或的结果。

ans = 0
for k in d:
    if len(d[k]) == 2:
        ans ^= arr[d[k][0]] ^ arr[d[k][1]]

这里的 ans 是按对异或的结果。我们遍历哈希表中的每个键，并检查每个键的值的长度是否为 2。如果是，那么我们将该组中的两个元素进行异或，并将结果加入到 ans 中。

最大化按对异或的数量

现在我们已经知道如何将按位异或替换为按对异或。但是，我们如何最大化按对异或的数量呢？

我们可以使用贪心算法来最大化按对异或的数量。我们遍历所有的元素，并根据每个元素的一半将其分配到对应的组中。接下来，我们将遍历所有的组，并计算它们的异或和。这样，我们就可以得到按对异或的结果。

n = len(arr)
d = {}
for i in range(n):
    if arr[i] // 2 in d:
        d[arr[i] // 2].append(i)
    else:
        d[arr[i] // 2] = [i]

ans = 0
for k in d:
    if len(d[k]) == 2:
        ans ^= arr[d[k][0]] ^ arr[d[k][1]]

print(ans)

我们可以将时间复杂度降低到 O(N)。因此，我们可以处理更大的输入。

结论

在本文中，我们学习了如何将按位异或替换为按对异或，并最大化其对的数量。我们还介绍了使用哈希表和贪心算法来计算按对异或结果的方法。在实际应用中，这种技巧可以用于优化某些异或操作。