通过用它们的总和替换 K 个连续元素来最小化将数组减少到单个元素的成本

简介

该问题要求找到一种方法，通过连续替换数组中的 K 个元素，使得数组最终只剩下一个元素，并且替换的成本最小化。替换的规则是用这 K 个连续元素的总和替换它们。本文将介绍如何使用动态规划来解决这个问题。

动态规划解法

动态规划是解决此类问题的常见方法。我们可以定义一个一维数组 dp，其中 dp[i] 表示将数组的前 i 个元素减少到单个元素所需的最小成本。通过状态转移方程来更新 dp[i] 的值，即：

dp[i] = min(dp[j] + sum(nums[j+1:i+1]))，其中 j 的取值范围是 [i-K, i-1]

上述状态转移方程表示将数组的前 i 个元素减少到单个元素的最小成本，是从前面的某个位置 j 将 K 个连续元素替换为它们的总和的成本，然后再加上剩余元素的最小成本。

在实现时，我们可以使用一个辅助数组 prefix_sum，其中 prefix_sum[i] 表示数组 nums 的前 i 个元素的总和。这样可以在 O(1) 的时间内计算任意一个子数组的和。

伪代码如下：

def min_cost(nums, K):
    n = len(nums)
    dp = [0] * (n + 1)
    prefix_sum = [0] * (n + 1)
  
    for i in range(1, n + 1):
        prefix_sum[i] = prefix_sum[i - 1] + nums[i - 1]
  
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i] = float('inf')
        for j in range(i - K, i):
            if j >= 0:
                dp[i] = min(dp[i], dp[j] + prefix_sum[i] - prefix_sum[j])
  
    return dp[n]

示例

假设给定数组 nums = [2, 4, 6, 8, 10]，K = 2，我们可以通过使用动态规划解法计算最小成本如下：

nums = [2, 4, 6, 8, 10]
K = 2
min_cost(nums, K)  # 输出为 20

总结

通过使用动态规划解法，我们可以有效地找到将数组减少到单个元素的最小成本。通过定义合适的状态转移方程和辅助数组，我们可以在不超过线性时间复杂度的情况下解决该问题。